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--- b:head_first_statistics:constructing_confidence_intervals [2023/11/14 23:16] – [The problem with precision] hkimscil
+++ b:head_first_statistics:constructing_confidence_intervals [2025/10/29 04:03] (current) – [Four steps for finding confidence intervals] hkimscil
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 <fs large>**Step 1:**</fs> Choose your population statistic
 If we go back to the work we did in the last chapter, then the sampling distribution of means has the following expectation and variance:
-{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122301.png}}
+\begin{eqnarray*}
+E(\overline{X}) & = & \mu \\
+V(\overline{X}) & = & \dfrac{\sigma^{2}} {n} \\
+\end{eqnarray*}
 <fs large>**Step 2**</fs>: Find its __**sampling distribution**__
 샘플평균들의 분산은 ($Var(\overline{X})$) 모집단의 특성인데 (parameter), 이를 알 수는 없으므로 아래와 같이 샘플의 분산값을 ($s^{2}$) 사용하여 샘플평균들의 분포를 만든다.
-{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122550.png}}
+\begin{eqnarray*}
+E(\overline{X}) & = & \mu \\
+V(\overline{X}) & = & \dfrac{s^{2}} {n} \\
+\end{eqnarray*}
 위대한 풍선껌은 (Mighty Gumball) 100개의 풍선검을 샘플로 이용하여 단맛의 지속시간을 측정하고, 이 샘플의
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 이를 이용하여 샘플평균들의 (n=100일 때) 분포의 (distribution) 분산값을 예측해보면 0.25를 얻는다.
-{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122843.png}}
+\begin{eqnarray*}
+V(\overline{X}) & = & \dfrac{s^{2}} {n} \\
+& = & \dfrac{25}{100} \\
+& = & 1/4 \;\;\; (0.25) \\
+\end{eqnarray*}
 위를 일반화해서 생각해보면 $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$이라고 할 때, 샘플의 숫자가 충분히 크다고 할 때 (n=100과 같이), $E(\overline{X})$ 값과 $Var(\overline{X})$ 값은 아래와 같다.
-{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122946.png}}
+\begin{eqnarray*}
+\overline{X} & \sim & N \left( \mu, \dfrac{s^{2}}{n} \right) \\
+& & \text{for the above case   } \\
+\overline{X} & \sim & N \left( \mu, 0.25 \right) \\
+\end{eqnarray*}
 <fs large>**Step 3:**</fs> Decide on the level of confidence
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 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-123432.png}}
-$$P(z_{a} < Z < z_{b}) = 0.95$$
+\begin{eqnarray*}
-$$P(Z < z_{a}) = 0.025$$
+P(z_{a} < Z < z_{b}) & = & 0.95 \\
-$$z_{a} = -1.96$$
+P(Z < z_{a}) & = & 0.025 \\
-$$P(Z > z_{b}) = 0.025$$
+z_{a} & = & -1.96 \\
-$$z_{b} = +1.96$$
+P(Z > z_{b}) & = & 0.025 \\
+z_{b} & = & +1.96 \\
+\end{eqnarray*}
 \begin{eqnarray*}
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   * 따라서 위의 경우는 95%에 해당하는 probability는
     * $P(-2 < z < 2) = .95$
-    * $P(-2 < \dfrac {X - \overline{X}}{sd} < 2) = .95$
+    * $P(-2 < \dfrac {\overline{X} - \mu}{sd} < 2) = .95$
     * 이렇게 계산을 하면
     * $P(\overline{X} -1 < \mu < \overline{X} + 1) = .95 $