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--- b:head_first_statistics:estimating_populations_and_samples [2025/11/02 23:23] – [What about variance] hkimscil
+++ b:head_first_statistics:estimating_populations_and_samples [2025/11/04 23:18] (current) – [Exercise] hkimscil
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 <code>
+> a <- pnorm(lower, mean=p, sd=se)
+> b <- pnorm(upper, p, se)
+> b-a
+[1] 0.95
+> lower
+[1] 0.1651311
+> upper
+[1] 0.3348689
+>
+> # 위의 그래프가 의미하는 것은 rbinom(1, n, p) / n로
+> # 얻은 하나의 샘플의 proportion의 (비율) 값은
+> # 95/100 확률로 lower에서 upper사이에 있을 것이라는
+> # 뜻
+> rbinom(1, n, p)/n
+[1] 0.29
+> rbinom(1, n, p)/n
+[1] 0.24
+>
 > k <- 100
 > sa1 <- rbinom(k, n, p) / n
 > head(sa1)
-[1] 0.18 0.22 0.24 0.30 0.20 0.30
+[1] 0.29 0.29 0.23 0.23 0.27 0.29
-> table(sa1 < lower | sa1 > upper)
+> sa1 < lower
+  [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+  [8] FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE
+ [15] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE
+ [22] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE
+ [29] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [36] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [43] FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [50] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [57] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [64] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [71] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [92] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [99] FALSE FALSE
+> sa1 > upper
+  [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+  [8] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [15] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [22] FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [29] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [36] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [43] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [50] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [57] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [64] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [71] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [92] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
+ [99] FALSE FALSE
+> table(sa1 < lower)
 FALSE  TRUE
      4
+> table(sa1 > upper)
+FALSE  TRUE
+     1
+>
+> table(sa1 < lower | sa1 > upper)
+FALSE  TRUE
+     5
 > table(sa1 < lower | sa1 > upper) / k
 FALSE  TRUE
-.96  0.04
+.95  0.05
->
 >
 </code>
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 그렇다면 만약에 30% 이상이 red gumball일 확률은 무엇이라는 질문이라면
 우리는 X ~ B(100, 1/4)에서 도출되는
-X ~ N(p, se) 에서 P(X>_0.3)을 구하는 질문이므로
+X ~ N(p, se^2) 에서 P(X>_0.3)을 구하는 질문이므로
 -pnorm(0.295, p, se) 가 답이 되겠다.
 <code>
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 헷갈릴까봐 정리
 |                |   봉지 ID  ||||||
-|  | bag 1   | bag 2   | bag 3   | . . . .  | bag n-1  | bag n  |
+|  | sample 01   | sample 02   | sample 03   | . . . .  | sample n-1  | sample n  |
-|  | 9   | 10  | 12  | . . . .  | 8   | 7   |
+| bag01 | 9   | 10  | 12  | . . . .  | 8   | 7   |
-|  | 5   | 12  | 9   | . . . .  | 12  | 10  |
+| bag02 | 5   | 12  | 9   | . . . .  | 12  | 10  |
-|  | 11  | 8   | 10  | . . . .  | 10  | 9   |
+| bag03 | 11  | 8   | 10  | . . . .  | 10  | 9   |
-| . . .  | ..  | ..  | ..  | . . . .  | ..  | ..  |
+| . . . | ..  | ..  | ..  | . . . .  | ..  | ..  |
-| mean of $\overline{X}s = E(\overline{X})$      | mean of \\ bag 1 \\ $ X_{1} = 10 $   | mean of \\ bag 2 \\ $ X_{2} = 10 $     | mean of \\ bag 3 \\ $ X_{3} = 10 $    | . . . .  | mean of \\ bag n-1 \\ $ X_{n-1} = 10 $     | mean of \\ bag n \\ $ X_{n} = 10 $     |
+|       | mean of \\ sample01 \\ $ X_{x1} = 9.933333 $   | mean of \\ sample02 \\ $ X_{x2} = 10.100000 $     | mean of \\ sample03 \\ $ X_{x3} = 9.766667 $    | . . . .  | mean of \\ sample n-1 \\ $ X_{xn-1} = 9.866667 $     | mean of \\ sample n \\ $ X_{xn} = 10.00000 $     |
+| mean of $\overline{X}s = E(\overline{X}) $  | $ E(\overline{X}) = \displaystyle E\left( \frac{X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}}{n}\right) $ ||||||
+<tabbed>
+  * b:head_first_statistics:estimating_populations_and_samples:sampling_distribution_of_means_in_r|code
+  * b:head_first_statistics:estimating_populations_and_samples:sampling_distribution_of_means_in_r_output|output
+</tabbed>
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 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191126-093924.png}}
+see [[:r/sampling_distribution]]
 \begin{eqnarray*}
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 ===== Using CLT for the binomial distribution =====
 $X \sim B(n, p)$ 에서 $\mu = np$, $\sigma^2 = npq$ 이고,
-n이 30이 넘는 조건에서 이항분포가 정상분포를 이룬다고 하므로
+n이 30이 넘는 조건에서 이항분포가 정상분포를 이룬다고 하므로 (하면)
-$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$에 대입해 보면:
+$\overline{X} \sim N (\mu, \frac{\sigma^2}{n} ) $에 대입해 보면:
-$$\overline{X} \sim N(np, \; pq) $$
+$$\overline{X} \sim N \left(np, \; pq \right) $$
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191126-095122.png}}
@@ Line 671: / Line 737: @@
 > pnorm(b/a)
 [1] 1.053435e-16
 </code>
 ====== Recap ======
 Distribution of **Sample** <fc #ff0000>**P**</fc>roportion<fc #ff0000>**s**</fc>, <fc #ff0000>$Ps$</fc>,