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--- degrees_of_freedom [2020/04/14 06:42] – hkimscil
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 위의 사례를 정리해 보면, 평균은 3, 분산은 1.8인 성격을 갖는 모집단이 된다. 이제 여기서 4개의 샘플단위를 뽑아서 샘플을 만들면 아래와 같다.
-|  | Xi | Xi  | ds  | ds2  |
+|  |  | Xi  | ds  | ds2  |
-|  | X<sub>1</sub> | 2  | -1.5  | 2.25  |
+|  |  | 2  | -1.5  | 2.25  |
-|  | X<sub>2</sub> | 5  | 1.5  | 2.25  |
+|  |  | 5  | 1.5  | 2.25  |
-|  | X<sub>3</sub> | 3  | -0.5  | 0.25  |
+|  |  | 3  | -0.5  | 0.25  |
-|  | X<sub>4</sub> | 4  | 0.5  | 0.25  |
+|  |  | 4  | 0.5  | 0.25  |
 |  |sum  | 14  |  | 5  |
 |  |average  | 3.5  |  |  |
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 |variance  |n-1  | 3  |  | 1.67  |
-위의 샘플을 나타내는 표에서 그 평균은 3.5이다. 그리고, 각각의 샘플 요소 중 하나인 X<sub>1</sub>는 평균값이 3.5가 되기 위해서는 어떤 값이라도 가질 자유가 있다. 이는 X<sub>2</sub>와 X<sub>3</sub> 도 마찬가지이다. 그러나, 마지막 X<sub>4</sub>값은 위의 3개가 어떤 값을 차례대로 갖게 된 상태에서는 "어떤  값이라도 가질 자유"를 잃게 된다. 다시 이야기 하면, 마지막 한 개의 값은 다른 개체와는 달리 어떤 숫자라도 가질 수 있는 자유를 잃게 된다. 이 때 우리는 이 샘플이 n-1의 자유도를 (degrees of freedom) 가졌다고 한다. 이 자유도는 'df'로 줄여서 많이 쓰인다. 위의 예에 대한 실증적인 예와 수학적인 증명은 [[:why n-1]]를 참조하라.
+위에서 보면, 샘플의 평균은 3.5이고 (모집단 분산에서 사용되는 분산식을 사용한) 분산은 1.25이다. 이는 실제 모집단의 분산값인 1.8에 훨씬 못 미치는 수치이다. 그러나 n대신에 n-1로 나누어 주면, 샘플의 분산값은 1.67이 된다. 이 분산 값이 모집단의 분산값에 더 가깝다.
+또한 샘플의 분산값 계산에 쓰인 n-1인 3은 3개의 개체가 어떤 값을 가져도 나머지 한개의 값이 조정만된다면 전체 샘플의 평균값인 3.5를 유지할 수 있다. 다시 이야기 하면, 마지막 한 개의 값은 다른 개체와는 달리 어떤 숫자라도 가질 수 있는 자유를 잃게 된다. 따라서 우리는 이 샘플이 n-1의 자유도를 가졌다고 한다. 이 자유도는 'df'로 줄여서 많이 쓰인다.
+====== n-1 로 나누는 예 ======
+아래는 r에서 이를 확인하는 작업이다. 집합 k의 parameter가 아래와 같을 때
+  * n = 10,
+  * mean = 3,
+  * sd = sqrt(2) = 1.414214
+개의 샘플을 (ks) 구했을 때, ks의 statistics는 아래와 같다.
+  * mean = 2.25
+  * sd = 1.258306
+  * n-1 대신 n을 사용했을 때는 0.9437293
+<code>
+############
+set.seed(1010)
+n.pop <- 20
+k <- sample(1:20, n.pop, replace = T)
+k.mean <- mean(k)
+k.pvar <- var(k)*((n.pop-1)/n.pop) ## population var(k)
+k.mean
+k.pvar
+############
+n.samp <- 3
+ks <- sample(k, n.samp)
+ks
+ks.mean <- mean(ks)
+ks.var <- var(ks)
+ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+ks.mean ## sample mean
+ks.var ## sample variance
+ks.pvar ## sample variance as population
+k.mean ## population mean
+k.pvar ## population variance as pop
+############
+</code>
+수학적인 증명을 보려면 [[:why n-1]] 참조
 {{tag>"research methods" statistics n-1 "degrees of freedom" 자유도}}