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--- estimated_standard_deviation [2026/03/10 05:32] – [output] hkimscil
+++ estimated_standard_deviation [2026/03/11 01:56] (current) – [실험적, R에서 시뮬레이션으로 이해] hkimscil
@@ Line 57: / Line 57: @@
 ====== 실험적, R에서 시뮬레이션으로 이해 ======
 아래 output의 코멘트를 읽을 것
-<tabbed>
+<tabbox rs01>
-  * estimated_standard_deviation:rscript01
+<code>
-  * *estimated_standard_deviation:rout01
+rm(list=ls())
-</tabbed>
+rnorm2 <- function(n,mean,sd){
+  mean+sd*scale(rnorm(n))
+}
+# set.seed(191)
+nx <- 1000
+mx <- 50
+sdx <- mx * 0.1
+sdx  # 5
+x <- rnorm2(nx, mx, sdx)
+# x <- rnorm2(1000, 50, 5) 와 동일
+mean(x)
+sd(x)
+length(x)
+hist(x)
+x.span <- seq(from = mean(x)-3*sd(x),
+              to = mean(x)+3*sd(x),
+              by = .1)
+x.span
+residuals <- function(x, v) {
+  return(x - v)
+}
+# sum of square residual 값을
+# 구하는 펑션
+ssr <- function(x, v) {
+  residuals <- (x - v)
+  return(sum(residuals^2))
+}
+#  mean square residual 값을
+# 구하는 펑션 (mean square
+# residual = variance)
+msr <- function(x, v) {
+  residuals <- (x - v)
+  return((mean(residuals^2)))
+}
+ssrs <- c() # sum of square residuals
+msrs <- c() # mean square residuals = variance
+vs <- c() # the value of v in (x - v)
+# x.span의 값들을 v값으로 삼아 sum(x-x.span)^2 처럼 구하면
+# SS값을 구한 것이 된다. 우리가 배운 SS값은 x.span의 값으로
+# 샘플의 평균을 사용했을 때의 residual 값이다. x.span은
+# 샘플의 평균을 중심으로 여러가지 값을 사용하는 것을 가정한다.
+for (i in x.span) {
+  res.x <- residuals(x,i)
+  msr.x <- msr(x,i)
+  msrs <- append(msrs, msr.x)
+  vs <- append(vs, i)
+}
+# 아래 plot은 SS값들이나 (두번째는) MS값들을 v값이 변화함에
+# 따라서 (x.span의 범위에 따라서 변화) 어떻게 변화하는지
+# 구한 것
+plot(msrs)
+# v값이 x.span에 따라서 변화하여 대입되었을 때의
+# MS값들을 (msr 펑션으로 구한 mean square값)
+# 모아 놓은 값이 msrs
+msrs
+# 아래는 위에서 계산한 msr 값들을 저장한 msrs값들 중에서 최소값이
+# 되는 것을 찾은 것. 우리는 이것이 샘플의 평균임을 안다.
+min(msrs)
+# 최소값일 때의 위치 (msrs에서 몇번째인지)
+min.pos.msrs <- which(msrs == min(msrs))
+min.pos.msrs
+# msr 최소값이 구해졌을 때 사용된 v값
+vs[min.pos.msrs]
+</code>
+<tabbox ro01>
+<WRAP group>
+<WRAP column 55%>
+<code>
+> rm(list=ls())
+>
+> rnorm2 <- function(n,mean,sd){
++     mean+sd*scale(rnorm(n))
++ }
+>
+> # set.seed(191)
+> nx <- 1000
+> mx <- 50
+> sdx <- mx * 0.1
+> sdx  # 5
+[1] 5
+> x <- rnorm2(nx, mx, sdx)
+> # x <- rnorm2(1000, 50, 5) 와 동일
+>
+> mean(x)
+[1] 50
+> sd(x)
+[1] 5
+> length(x)
+[1] 1000
+> hist(x)
+>
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP column 35%>
+SS = sum(x-mean(x))^2 인데, mean(x)을 즉, x집합의 평균을, x 원소값을 예측하는데 (빼는데) 사용하면 SS값이 최소값이 된다고 하였다. 이것을 R에서 simulation으로 알아보기 위해서 mean(x) 대신에 다른 숫자들을 넣어보려고 한다. 이를 v라고 하면 sum(x-v)^2이라는 SS값들을 구해서 비교하려는 것이다. 대입할 숫자들은 (v) mean(x) +- 3 sd(x) 를 범위로 하고, 그 범위의 시작 숫자에서 (시작은 mean(x)-3sd(x)가 된다) 0.1씩 증가시키면서 대입하고, 각 숫자마다 (처음 숫자는 35, 다음 숫자는 35.1 . . . ) SS값을 구해서 저장하여 그것을 그래프로 그려보고 최소값이 어떤 것인지 보는 것이 진행하려는 작업이다.
+단, 이 코드에서 SS대신 MS값을 (SS값을 n으로 나눈 값, 즉, variance값 혹은 Mean Square값) 구해서 보려고 하는데 이것은 같은 의미를 갖는다. 즉, 모든 SS값들에 n을 공토으로 나누어준 값을 저장하고 비교하려는 것이다.
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP column 55%>
+<code>
+> x.span <- seq(from = mean(x)-3*sd(x),
++               to = mean(x)+3*sd(x),
++               by = .1)
+> x.span
+  [1] 35.0 35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.6 35.7 35.8
+ [10] 35.9 36.0 36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7
+ [19] 36.8 36.9 37.0 37.1 37.2 37.3 37.4 37.5 37.6
+ [28] 37.7 37.8 37.9 38.0 38.1 38.2 38.3 38.4 38.5
+ [37] 38.6 38.7 38.8 38.9 39.0 39.1 39.2 39.3 39.4
+ [46] 39.5 39.6 39.7 39.8 39.9 40.0 40.1 40.2 40.3
+ [55] 40.4 40.5 40.6 40.7 40.8 40.9 41.0 41.1 41.2
+ [64] 41.3 41.4 41.5 41.6 41.7 41.8 41.9 42.0 42.1
+ [73] 42.2 42.3 42.4 42.5 42.6 42.7 42.8 42.9 43.0
+ [82] 43.1 43.2 43.3 43.4 43.5 43.6 43.7 43.8 43.9
+ [91] 44.0 44.1 44.2 44.3 44.4 44.5 44.6 44.7 44.8
+[100] 44.9 45.0 45.1 45.2 45.3 45.4 45.5 45.6 45.7
+[109] 45.8 45.9 46.0 46.1 46.2 46.3 46.4 46.5 46.6
+[118] 46.7 46.8 46.9 47.0 47.1 47.2 47.3 47.4 47.5
+[127] 47.6 47.7 47.8 47.9 48.0 48.1 48.2 48.3 48.4
+[136] 48.5 48.6 48.7 48.8 48.9 49.0 49.1 49.2 49.3
+[145] 49.4 49.5 49.6 49.7 49.8 49.9 50.0 50.1 50.2
+[154] 50.3 50.4 50.5 50.6 50.7 50.8 50.9 51.0 51.1
+[163] 51.2 51.3 51.4 51.5 51.6 51.7 51.8 51.9 52.0
+[172] 52.1 52.2 52.3 52.4 52.5 52.6 52.7 52.8 52.9
+[181] 53.0 53.1 53.2 53.3 53.4 53.5 53.6 53.7 53.8
+[190] 53.9 54.0 54.1 54.2 54.3 54.4 54.5 54.6 54.7
+[199] 54.8 54.9 55.0 55.1 55.2 55.3 55.4 55.5 55.6
+[208] 55.7 55.8 55.9 56.0 56.1 56.2 56.3 56.4 56.5
+[217] 56.6 56.7 56.8 56.9 57.0 57.1 57.2 57.3 57.4
+[226] 57.5 57.6 57.7 57.8 57.9 58.0 58.1 58.2 58.3
+[235] 58.4 58.5 58.6 58.7 58.8 58.9 59.0 59.1 59.2
+[244] 59.3 59.4 59.5 59.6 59.7 59.8 59.9 60.0 60.1
+[253] 60.2 60.3 60.4 60.5 60.6 60.7 60.8 60.9 61.0
+[262] 61.1 61.2 61.3 61.4 61.5 61.6 61.7 61.8 61.9
+[271] 62.0 62.1 62.2 62.3 62.4 62.5 62.6 62.7 62.8
+[280] 62.9 63.0 63.1 63.2 63.3 63.4 63.5 63.6 63.7
+[289] 63.8 63.9 64.0 64.1 64.2 64.3 64.4 64.5 64.6
+[298] 64.7 64.8 64.9 65.0
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP column 35%>
+x-mean(x) = residual = error
+sum(residual^2) = SS (sum of square)
+SS/n = variance, mean square (ms, MS)
+이 residual을 구하기 위해서 쓰는 mean(x)의 대체값들을 (v값들) x.span에 모아 놓은 것이다.
+이 값을 출력해보았는데 35.1 에서 시작하여 65에서 끝나며, 0.1씩 증가한다.
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP column 55%>
+<code>
+>
+> residuals <- function(x, v) {
++     return(x - v)
++ }
+>
+> # sum of square residual 값을
+> # 구하는 펑션
+> ssr <- function(x, v) {
++     residuals <- (x - v)
++     return(sum(residuals^2))
++ }
+>
+> #  mean square residual 값을
+> # 구하는 펑션 (mean square
+> # residual = variance)
+> msr <- function(x, v) {
++     residuals <- (x - v)
++     return((mean(residuals^2)))
++ }
+>
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP column 35%>
+  * 이 후 쓸 function들. (x-v) = residual이라고 부르니까 이 residual을 모으는 function
+  * function ssr = x 집합과 v값 (x.span의 한 숫자)를 인수를 주었을 때 구할 수 있는 Sum of Square값들 (실제로는 사용하지 않는다. 대신 msr 펑션으로 MS값을 구한다).
+  * function msr = 의 ssr을 n으로 나누어 구한 mean square residual을 (분산) 구하는 function
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP column 55%>
+<code>
+> ssrs <- c() # sum of square residuals
+> msrs <- c() # mean square residuals = variance
+> vs <- c() # the value of v in (x - v)
+>
+> # x.span의 값들을 v값으로 삼아 sum(x-x.span)^2 처럼 구하면
+> # SS값을 구한 것이 된다. 우리가 배운 SS값은 x.span의 값으로
+> # 샘플의 평균을 사용했을 때의 residual 값이다. x.span은
+> # 샘플의 평균을 중심으로 여러가지 값을 사용하는 것을 가정한다.
+>
+> for (i in x.span) {
++     res.x <- residuals(x,i)
++     msr.x <- msr(x,i)
++     msrs <- append(msrs, msr.x)
++     vs <- append(vs, i)
++ }
+> # 아래 plot은 SS값들이나 (두번째는) MS값들을 v값이 변화함에
+> # 따라서 (x.span의 범위에 따라서 변화) 어떻게 변화하는지
+> # 구한 것
+>
+> plot(vs, msrs)
+>
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP column 35%>
+comment
+  * x.span의 처음값인 35.1을 넣어서 (x-v)를 구한 후
+  * msr 펑션으로 mean square residual 값을 구한다.
+  * 그리고 이 값을 어딘가에 (msrs) 저장한 후
+  * 그 다음 value인 35.2값을 v 대신에 넣어 다시
+  * msr값을 구하여 위의 msrs에 추가하여 저장한다.
+  * 이것을 x.span의 모든값에 걸쳐 진행하면
+  * msrs에는 x.span의 모든 값을 대응하여 구한
+  * msr값들이 저장된다. 이 msr값 중에서 최소값을 찾고
+  * 이 최소값을 구할 때 쓴 v값을 (x.span 중 하나의 값) 찾고자 한다.
+  * 이를 위해서 for 를 이용한 loop문을 쓴다.
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP column 55%>
+<code>
+> # v값이 x.span에 따라서 변화하여 대입되었을 때의
+> # MS값들을 (msr 펑션으로 구한 mean square값)
+> # 모아 놓은 값이 msrs
+> msrs
+  [1] 249.975 246.985 244.015 241.065 238.135
+  [6] 235.225 232.335 229.465 226.615 223.785
+ [11] 220.975 218.185 215.415 212.665 209.935
+ [16] 207.225 204.535 201.865 199.215 196.585
+ [21] 193.975 191.385 188.815 186.265 183.735
+ [26] 181.225 178.735 176.265 173.815 171.385
+ [31] 168.975 166.585 164.215 161.865 159.535
+ [36] 157.225 154.935 152.665 150.415 148.185
+ [41] 145.975 143.785 141.615 139.465 137.335
+ [46] 135.225 133.135 131.065 129.015 126.985
+ [51] 124.975 122.985 121.015 119.065 117.135
+ [56] 115.225 113.335 111.465 109.615 107.785
+ [61] 105.975 104.185 102.415 100.665  98.935
+ [66]  97.225  95.535  93.865  92.215  90.585
+ [71]  88.975  87.385  85.815  84.265  82.735
+ [76]  81.225  79.735  78.265  76.815  75.385
+ [81]  73.975  72.585  71.215  69.865  68.535
+ [86]  67.225  65.935  64.665  63.415  62.185
+ [91]  60.975  59.785  58.615  57.465  56.335
+ [96]  55.225  54.135  53.065  52.015  50.985
+[101]  49.975  48.985  48.015  47.065  46.135
+[106]  45.225  44.335  43.465  42.615  41.785
+[111]  40.975  40.185  39.415  38.665  37.935
+[116]  37.225  36.535  35.865  35.215  34.585
+[121]  33.975  33.385  32.815  32.265  31.735
+[126]  31.225  30.735  30.265  29.815  29.385
+[131]  28.975  28.585  28.215  27.865  27.535
+[136]  27.225  26.935  26.665  26.415  26.185
+[141]  25.975  25.785  25.615  25.465  25.335
+[146]  25.225  25.135  25.065  25.015  24.985
+[151]  24.975  24.985  25.015  25.065  25.135
+[156]  25.225  25.335  25.465  25.615  25.785
+[161]  25.975  26.185  26.415  26.665  26.935
+[166]  27.225  27.535  27.865  28.215  28.585
+[171]  28.975  29.385  29.815  30.265  30.735
+[176]  31.225  31.735  32.265  32.815  33.385
+[181]  33.975  34.585  35.215  35.865  36.535
+[186]  37.225  37.935  38.665  39.415  40.185
+[191]  40.975  41.785  42.615  43.465  44.335
+[196]  45.225  46.135  47.065  48.015  48.985
+[201]  49.975  50.985  52.015  53.065  54.135
+[206]  55.225  56.335  57.465  58.615  59.785
+[211]  60.975  62.185  63.415  64.665  65.935
+[216]  67.225  68.535  69.865  71.215  72.585
+[221]  73.975  75.385  76.815  78.265  79.735
+[226]  81.225  82.735  84.265  85.815  87.385
+[231]  88.975  90.585  92.215  93.865  95.535
+[236]  97.225  98.935 100.665 102.415 104.185
+[241] 105.975 107.785 109.615 111.465 113.335
+[246] 115.225 117.135 119.065 121.015 122.985
+[251] 124.975 126.985 129.015 131.065 133.135
+[256] 135.225 137.335 139.465 141.615 143.785
+[261] 145.975 148.185 150.415 152.665 154.935
+[266] 157.225 159.535 161.865 164.215 166.585
+[271] 168.975 171.385 173.815 176.265 178.735
+[276] 181.225 183.735 186.265 188.815 191.385
+[281] 193.975 196.585 199.215 201.865 204.535
+[286] 207.225 209.935 212.665 215.415 218.185
+[291] 220.975 223.785 226.615 229.465 232.335
+[296] 235.225 238.135 241.065 244.015 246.985
+[301] 249.975
+>
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP column 35%>
+comment
+  * msrs값에 저장된 msr값들 (mean square residual값들) 중에서
+  * 가장 작은 값을 찾아서 그 값을 구하도록 한 v값을 찾고자 한다.
+  * msrs값을 눈으로 살펴보기에는 너무 힘드므로 . . . .
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP column 55%>
+<code>
+> # 아래는 위에서 계산한 msr 값들을 저장한 msrs값들 중에서 최소값이 되는 것을 찾은
+> # 것. 우리는 이것이 샘플의 평균임을 안다.
+> min(msrs)
+[1] 24.975
+> # 최소값일 때의 위치 (msrs에서 몇번째인지)
+> min.pos.msrs <- which(msrs == min(msrs))
+> min.pos.msrs
+[1] 151
+> # msr 최소값이 구해졌을 때 사용된 v값
+> vs[min.pos.msrs]
+[1] 50
+>
+> plot(vs, msrs, cex=1, lwd=1, lty=3)
+> abline(v=vs[min.pos.msrs])
+> text(x=50, y=150, "msr gets minimal value, when v = 50" )
+>
+>
+>
+>
+>
+>
+>
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP column 35%>
+comment
+  * msrs 의 min(msrs)값을 찾는다 24.975
+  * 이 최소값이 어느 위치에 있는지 (몇번째 자리에 있는지) 찾는다 which(msrs == min(msrs))
+  * 이 위치가 151이다
+  * 이 151번째 사용된 (최소값인 msr값 = mean(x-v)^2)을 결과한) vs값을 찾는다 (vs[151])
+  * 이 값을 출력하니 50 이고 이 값은 x의 평균값이다.
+  * 이를 plot으로 출력한 것
+{{:pasted:20250904-173050.png}}
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 ===== 미분으로 기울기가 최소값이 될 때를 찾는 법 =====