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-> set.seed(101)
-> k <- 1000
-> n <- 100
-> p <- 1/4
-> q <- 1-p
-> # in order to clarify what we are doing
-> # X~B(n,p) 일 때, 100개의 검볼을 샘플링해서
-> # red gumball을 세봤더니
-> rbinom(1,n,p) # 24개 였다라는 뜻
-[1] 24
->
-> # 아래는 이것을 1000번 (k번) 한 것
-> numbers.of.red.gumball <- rbinom(k, n, p)
-> head(numbers.of.red.gumball)
-[1] 18 27 27 22 23 26
->
-> # 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
-> # 나눠주면 비율을 구할 수 있다
-> proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball/n
-> ps.k <- proportions.of.rg
-> head(ps.k)
-[1] 0.18 0.27 0.27 0.22 0.23 0.26
->
-> mean.ps.k <- mean(ps.k)
-> mean.ps.k
-[1] 0.24893
-> hist(ps.k)
->
->
-> ####
-> set.seed(101)
-> k <- 1000000
-> n <- 100
-> p <- 1/4
-> q <- 1-p
-> numbers.of.red.gumball <- rbinom(k, n, p)
->
-> # 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
-> # 나눠주면 비율을 구할 수 있다
-> proportions.of.rg <- numbers.of.red.gumball/n
-> ps.k <- proportions.of.rg
-> mean.ps.k <- mean(ps.k)
-> mean.ps.k  # 위에서 구한 시뮬레이션 샘플들의 평균
-[1] 0.2500216
->
-> mean.value <- n * p # 이론적인 샘플비율들의 평균
-> mean.value
-[1] 25
->
-> # variance?
-> var.cal <- var(ps.k) # 위에서 구한 시뮬레이션 샘플들의 분산
-> var.cal
-[1] 0.001869
-> var.value <- (p*q)/n # 교재가 증명한 이론적인 샘플비율들의 분산값
-> var.value
-[1] 0.001875
->
-> # standard deviation
-> sd.cal <- sqrt(var.cal)
-> sd.cal
-[1] 0.04323193
-> sd.value <- sqrt(var.value)
-> sd.value
-[1] 0.04330127
->
-> se <- sd.value
-> # 우리는 standard deviation of sample
-> # proportions을 standard error라고 부른다
->
-> # 위의 histogram 에서 mean 값은 이론적으로
-> p
-[1] 0.25
-> # standard deviation값은
-> se
-[1] 0.04330127
->
-> qnorm(.975)
-[1] 1.959964
-> # 우리는 평균값에서 +- 2*sd.cal 구간이 95%인줄 안다.
-> se2 <- se * qnorm(.975)
-> # 즉, 아래 구간이
-> lower <- p-se2
-> upper <- p+se2
-> lower
-[1] 0.1651311
-> upper
-[1] 0.3348689
->
-> hist(ps.k)
-> abline(v=lower, col=2, lwd=2)
-> abline(v=upper, col=2, lwd=2)
->
-> a <- pnorm(lower, mean=p, sd=se)
-> b <- pnorm(upper, p, se)
-> b-a
-[1] 0.95
-> lower
-[1] 0.1651311
-> upper
-[1] 0.3348689
->
-> # 위의 그래프가 의미하는 것은 rbinom(1, n, p) / n로
-> # 얻은 하나의 샘플의 proportion의 (비율) 값은
-> # 95/100 확률로 lower에서 upper사이에 있을 것이라는
-> # 뜻
-> rbinom(1, n, p)/n
-[1] 0.29
-> rbinom(1, n, p)/n
-[1] 0.24
->
-> k <- 100
-> sa1 <- rbinom(k, n, p) / n
-> head(sa1)
-[1] 0.29 0.29 0.23 0.23 0.27 0.29
-> sa1 < lower
-  [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE
- [12] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE
- [23] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [34] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [45]  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [56] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [67] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [89] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
-[100] FALSE
-> sa1 > upper
-  [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [12] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [23]  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [34] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [45] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [56] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [67] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
- [89] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
-[100] FALSE
-> table(sa1 < lower)
-FALSE  TRUE
-     4
-> table(sa1 > upper)
-FALSE  TRUE
-     1
->
-> table(sa1 < lower | sa1 > upper)
-FALSE  TRUE
-     5
-> table(sa1 < lower | sa1 > upper) / k
-FALSE  TRUE
-.95  0.05
->
-</code>
-{{.:pasted:20251112-074333.png}}