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set.seed(101)
k ← 1000
n ← 100
p ← 1/4
q ← 1-p
# in order to clarify what we are doing
# X~B(n,p) 일 때, 100개의 검볼을 샘플링해서
# red gumball을 세봤더니
rbinom(1,n,p) # 24개 였다라는 뜻
[1] 24
# 아래는 이것을 1000번 (k번) 한 것
numbers.of.red.gumball ← rbinom(k, n, p)
head(numbers.of.red.gumball)
[1] 18 27 27 22 23 26
# 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
# 나눠주면 비율을 구할 수 있다
proportions.of.rg ← numbers.of.red.gumball/n
ps.k ← proportions.of.rg
head(ps.k)
[1] 0.18 0.27 0.27 0.22 0.23 0.26
mean.ps.k ← mean(ps.k)
mean.ps.k
[1] 0.24893
hist(ps.k)
####
set.seed(101)
k ← 1000000
n ← 100
p ← 1/4
q ← 1-p
numbers.of.red.gumball ← rbinom(k, n, p)
# 아래처럼 n으로 (100개의 검볼이 총 숫자이므로)
# 나눠주면 비율을 구할 수 있다
proportions.of.rg ← numbers.of.red.gumball/n
ps.k ← proportions.of.rg
mean.ps.k ← mean(ps.k)
mean.ps.k # 위에서 구한 시뮬레이션 샘플들의 평균
[1] 0.2500216
mean.value ← n * p # 이론적인 샘플비율들의 평균
mean.value
[1] 25
# variance?
var.cal ← var(ps.k) # 위에서 구한 시뮬레이션 샘플들의 분산
var.cal
[1] 0.001869
var.value ← (p*q)/n # 교재가 증명한 이론적인 샘플비율들의 분산값
var.value
[1] 0.001875
# standard deviation
sd.cal ← sqrt(var.cal)
sd.cal
[1] 0.04323193
sd.value ← sqrt(var.value)
sd.value
[1] 0.04330127
se ← sd.value
# 우리는 standard deviation of sample
# proportions을 standard error라고 부른다
# 위의 histogram 에서 mean 값은 이론적으로
p
[1] 0.25
# standard deviation값은
se
[1] 0.04330127
qnorm(.975)
[1] 1.959964
# 우리는 평균값에서 +- 2*sd.cal 구간이 95%인줄 안다.
se2 ← se * qnorm(.975)
# 즉, 아래 구간이
lower ← p-se2
upper ← p+se2
lower
[1] 0.1651311
upper
[1] 0.3348689
hist(ps.k)
abline(v=lower, col=2, lwd=2)
abline(v=upper, col=2, lwd=2)
a ← pnorm(lower, mean=p, sd=se)
b ← pnorm(upper, p, se)
b-a
[1] 0.95
lower
[1] 0.1651311
upper
[1] 0.3348689
# 위의 그래프가 의미하는 것은 rbinom(1, n, p) / n로
# 얻은 하나의 샘플의 proportion의 (비율) 값은
# 95/100 확률로 lower에서 upper사이에 있을 것이라는
# 뜻
rbinom(1, n, p)/n
[1] 0.29
rbinom(1, n, p)/n
[1] 0.24
k ← 100
sa1 ← rbinom(k, n, p) / n
head(sa1)
[1] 0.29 0.29 0.23 0.23 0.27 0.29
sa1 < lower[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE[12] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE
[23] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[34] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[45] TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[56] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[67] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[89] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[100] FALSE
sa1 > upper[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE[12] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[23] TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[34] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[45] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[56] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[67] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[78] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[89] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[100] FALSE
table(sa1 < lower)
FALSE TRUE
96 4
> table(sa1 > upper)
FALSE TRUE
99 1
>
table(sa1 < lower | sa1 > upper)
FALSE TRUE
95 5
> table(sa1 < lower | sa1 > upper) / k
FALSE TRUE
0.95 0.05