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--- standard_deviation [2020/04/14 11:49] – hkimscil
+++ standard_deviation [2026/03/15 23:30] (current) – hkimscil
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 ====== 표준편차, kr ======
 Standard Deviation(표준편차)는 [[:Variance|variance(분산)]]값을 square root한 값을 말한다. 애초에 분산의 정도를 구하기 위해서 deviation score를 제곱한 값을 사용하였으므로 이에 다시 제곱근을 한 것이다.
+\begin{eqnarray*}
+\sigma^2 & = & \frac{SS}{N} = \frac{SS}{N-1} \\
+ & = &  \frac{SS}{df} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{N-1} \\
+\sigma & = & \sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{N-1}}  \\
+s & = & \sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{n-1}} \\
+\end{eqnarray*}
+아래는 평균:100, 표준편차:20 인 변인 X 의 데이터를 그래프로 나타낸 것이다. [[:Normal Distribution|normal distribution 정상분포]]의 전체 면적을 1 이라고 했을 때, 평균을 중심으로 한 [[standard deviation]]의 한 단위는 아래쪽과 위쪽 면적의 합은 전체 면적의 약 68%를 차지한다. 두 단위 아래 위쪽을 포함하는 면적은 약 95%; 그리고 세단위를 사용한 면적은 약 99%를 차지한다.
-$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{N}} $$
+[{{:pasted:20200414-201919.png?500|위의 그래프에서 var = 20 이 아니라 sd = 20 }}]
-$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{n-1}} $$
-$$s=\sqrt{s^2} $$
-아래는 평균:100, 표준편차:20 인 변인 X 의 데이터를 그래프로 나타낸 것이다. [[:Normal Distribution|normal distribution 정상분포]]의 전체 면적을 1 이라고 했을 때, 평균을 중심으로 한 [[standard deviation]]의 한 단위는 아래쪽과 위쪽 면적의 합은 전체 면적의 약 68%를 차지한다. 두 단위 아래 위쪽을 포함하는 면적은 약 95%; 그리고 세단위를 사용한 면적은 약 99%를 차지한다.
+위의 그래프가 어느 집단의 IQ라는 변인을 측정한 데이타라고 가정한다면 SD 한 단위에 해당하는 80-120 사이의 사람들은 약 68%이며, 60-140은 95%, 그리고 40-160사이의 사람들은 99%를 차지한다고 생각할 수 있다. 단, IQ 점수의 분포가 정상분포곡선을 이룬다는 가정에서이다.
-{{  :pasted:20200414-201619.png  }}
+정확한 퍼센티지는 다음과 같다.
-{{  {{:pasted:20200414-201919.png  }}
+<code>
+> pnorm(1)-pnorm(-1)  ## 68%로 줄여서 암기
+[1] 0.6826895
+> pnorm(2)-pnorm(-2)  ## 95%로 줄여서 암기
+[1] 0.9544997
+> pnorm(3)-pnorm(-3)  ## 99%로 줄여서 암기
+[1] 0.9973002
+>
+</code>
+만약에 정확히 68%, 95%, 99% 에 해당하는 점수를 찾는다면 아래와 같이 찾을 수 있다.
-위의 그래프가 어느 집단의 IQ라는 변인을 측정한 데이타라고 가정한다면 SD 한 단위에 해당하는 80-120 사이의 사람들은 약 68%이며, 60-140은 95%, 그리고 40-160사이의 사람들은 99%를 차지한다고 생각할 수 있다. 단, IQ 점수의 분포가 정상분포곡선을 이룬다는 가정에서이다.
+<code>
+> one.sd <- .68
+> two.sd <- .95
+> thr.sd <- .99
+> 1-one.sd
+[1] 0.32
+> (1-one.sd)/2
+[1] 0.16
+> qnorm(0.16)
+[1] -0.9944579
+> qnorm(1-0.16)
+[1] 0.9944579
+>
+> 1-two.sd
+[1] 0.05
+> (1-two.sd)/2
+[1] 0.025
+> qnorm(0.025)
+[1] -1.959964
+> qnorm(0.975)
+[1] 1.959964
+>
+> 1-thr.sd
+[1] 0.01
+> (1-thr.sd)/2
+[1] 0.005
+> qnorm(0.005)
+[1] -2.575829
+> qnorm(1-0.005)
+[1] 2.575829
+>
+</code>
+위의 값은 정확은 하지만 개념적으로 표준편차의 특징을 이해하는데 방해가 되는 면이 있다. 따라서 표준편차 1, 2, 3 만큼은 각각 68, 95, 99%로 기억해두는 것이 편리하다.