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--- standard_deviation [2025/03/23 22:47] – hkimscil
+++ standard_deviation [2026/03/15 23:30] (current) – hkimscil
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 ====== 표준편차, kr ======
 Standard Deviation(표준편차)는 [[:Variance|variance(분산)]]값을 square root한 값을 말한다. 애초에 분산의 정도를 구하기 위해서 deviation score를 제곱한 값을 사용하였으므로 이에 다시 제곱근을 한 것이다.
-$$\sigma^2=\frac{SS}{N}=\frac{SS}{N-1}=\frac{SS}{df}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{N-1} $$
+\begin{eqnarray*}
-$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{N-1}} $$
+\sigma^2 & = & \frac{SS}{N} = \frac{SS}{N-1} \\
-$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{n-1}} $$
+ & = &  \frac{SS}{df} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{N-1} \\
-$$s=\sqrt{s^2} $$
+\sigma & = & \sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{N-1}}  \\
+s & = & \sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{n-1}} \\
+\end{eqnarray*}
 아래는 평균:100, 표준편차:20 인 변인 X 의 데이터를 그래프로 나타낸 것이다. [[:Normal Distribution|normal distribution 정상분포]]의 전체 면적을 1 이라고 했을 때, 평균을 중심으로 한 [[standard deviation]]의 한 단위는 아래쪽과 위쪽 면적의 합은 전체 면적의 약 68%를 차지한다. 두 단위 아래 위쪽을 포함하는 면적은 약 95%; 그리고 세단위를 사용한 면적은 약 99%를 차지한다.
-{{  :pasted:20200414-201919.png  }}
+[{{:pasted:20200414-201919.png?500|위의 그래프에서 var = 20 이 아니라 sd = 20 }}]
 위의 그래프가 어느 집단의 IQ라는 변인을 측정한 데이타라고 가정한다면 SD 한 단위에 해당하는 80-120 사이의 사람들은 약 68%이며, 60-140은 95%, 그리고 40-160사이의 사람들은 99%를 차지한다고 생각할 수 있다. 단, IQ 점수의 분포가 정상분포곡선을 이룬다는 가정에서이다.
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 <code>
+> one.sd <- .68
+> two.sd <- .95
+> thr.sd <- .99
+> 1-one.sd
+[1] 0.32
+> (1-one.sd)/2
+[1] 0.16
 > qnorm(0.16)
 [1] -0.9944579
-> qnorm(0.84)
+> qnorm(1-0.16)
 [1] 0.9944579
 >
->
+> 1-two.sd
-> qnorm(0.975)
+[1] 0.05
-[1] 1.959964
+> (1-two.sd)/2
+[1] 0.025
 > qnorm(0.025)
 [1] -1.959964
+> qnorm(0.975)
+[1] 1.959964
 >
-> 0.01/2
+> 1-thr.sd
+[1] 0.01
+> (1-thr.sd)/2
 [1] 0.005
 > qnorm(0.005)
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 </code>
 위의 값은 정확은 하지만 개념적으로 표준편차의 특징을 이해하는데 방해가 되는 면이 있다. 따라서 표준편차 1, 2, 3 만큼은 각각 68, 95, 99%로 기억해두는 것이 편리하다.
-<code>
-> # .95 부분을 찾기 위해서는
-> # qnorm을 사용해 본다
-> # qnorm(percent, mean=0, sd=1)
-> perc68h <- .68 + (.32*.5)
-> perc68l <- .32*.5
-> perc68h
-[1] 0.84
-> perc68l
-[1] 0.16
->
-> ahi1 <- qnorm(perc68h, mean=0, sd=1)
-> alo1 <- qnorm(perc68l)
-> ahi1
-[1] 0.9944579
-> alo1
-[1] -0.9944579
-> pnorm(ahi1)-pnorm(alo1)
-[1] 0.68
->
-> ahi2 <- qnorm(.975)
-> alo2 <- qnorm(.025)
->
-> ahi2
-[1] 1.959964
-> alo2
-[1] -1.959964
-> pnorm(ahi2)-pnorm(alo2)
-[1] 0.95
->
-> (1-1/200)
-[1] 0.995
-> ahi3 <- qnorm(.995)
-> alo3 <- qnorm(.005)
-> pnorm(ahi3)-pnorm(alo3)
-[1] 0.99
->
-</code>