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--- variance [2025/09/30 05:05] – [다른 공식] hkimscil
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 <BOOKMARK:variance_cal>
-$ \sigma^2 = \displaystyle \frac{\displaystyle \sum (X_i-\mu)^2}{N}$ 에서
+$ \sigma^2 = \displaystyle \frac {\displaystyle \sum (X_i-\mu)^2}{N}$ 에서
-\begin{eqnarray*}
+\begin{eqnarray}
-\sum (X_i-\mu)^2 & = & \sum [(X_i^2)-(2*X_i*\mu)+(\mu^2)] \\
+\sum (X_i-\mu)^2 & = & \sum [(X_i^2)-(2*X_i*\mu)+(\mu^2)] \nonumber \\
-& = & \sum (X_i^2) - \sum (2*X_i*\mu) + \sum (\mu^2) \\
+& = & \sum (X_i^2) - \sum (2*X_i*\mu) + \sum (\mu^2) \nonumber \\
-& = & \sum (X_i^2) - 2 \mu \sum (X_i) + N (\mu^2) \\
+& = & \sum (X_i^2) - 2 \mu \sum (X_i) + N (\mu^2) \nonumber \\
-& = & \sum (X_i^2) - 2 \mu (N * \mu) + N (\mu^2) \\
+& = & \sum (X_i^2) - 2 \mu (N * \mu) + N (\mu^2) \nonumber \\
 & = & \sum (X_i^2) - N * \mu^2
-\end{eqnarray*}
+\end{eqnarray}
 위에서, $\text{2 and}$ $\mu$ $\text{are constants. }$
-따라서 분산값은 아래의 공식으로도 구할 수 있다. 분산에 관한 더 자세한 연산법칙은 [[:expected value and variance properties]] 문서를 참조.
+따라서 분산값은 아래의 공식으로도 구할 수 있다. 분산에 관한 더 자세한 연산법칙은 [[:expected value and variance properties]] 문서를 참조 (Variance theorem 1).
 \begin{eqnarray}
-\sigma^2 & = & \displaystyle \frac{\sum (X_i^2) - N * \mu^2}{N} \nonumber \\
+\sigma^2 & = & \displaystyle{\frac {\text{(1)}}{N}} \nonumber \\
-& = & \displaystyle \frac{\sum (X_i^2)}{N} - \mu^2
+& = & \displaystyle \frac{\sum (X_i^2) - N * \mu^2}{N} \nonumber \\
+& = & \displaystyle \frac{\sum (X_i^2)}{N} - \mu^2 \\
+& = & E(X^{2})-E(X)^{2} \;\;\;
 \end{eqnarray}
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 <code>
+> set.seed(1)
 > a <- rnorm2(100000000, 100, 10)
 > a.mean <- mean(a)
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 </code>
-See also [[Standard Deviation]] \\
+더 자세한 것은 [[:why n-1]] 참조. \\