====== Measuring Central Tendency ======
===== mean =====
read [[:mean]] document

\begin{equation*}
\text{Sum of all elements} = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + . . . + X_n \\
\end{equation*}

위의 sum of all elements는 아래와 같이 표현된 수 있다. 

\begin{equation*}
X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + . . . + X_n = \sum\limits_{i=1}^{n} X_i
\end{equation*}

위의 sum of all elements를 n으로 나누는 것이 평균

\begin{equation*}
\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} X_i}{n}
\end{equation*}

이것을 우리는 흔히 "무"라고 부른다. 
\begin{equation*}
\mu = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} X_i}{N}
\end{equation*}

| age   | 19  | 20  | 21  |
| freq  | 1   | 3  | 1   |

위처럼 frequency로 정리된 표는 아래와 같이 계산할 수 있다.

\begin{equation*}
\begin{split}
\mu = \frac{\sum\limits_{}^{} \text{fx}}{\sum{\text{f}}} 
    = \frac{1 \text{x} 19 + 3 \text{x} 20 + 1 \text{x} 21}{5}
\end{split}
\end{equation*}

===== outlier =====
<WRAP info>
[{{eg.distribution.jpg}}]
</WRAP>

===== skewedness =====
<WRAP info>
{{skewedness.jpg}}
</WRAP>

===== median =====
see [[:median]] document

<code>{19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 100, 102}</code>
<code>{19, 20, 20, 20, 21, 21, 100, 102}</code>

see also [[:quartile]] document
==== e.g. ====

<WRAP info>
[{{eg.finding.central.tendency.with.skewedness.data.jpg}}]

</WRAP>

<code>
one <- c(1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,6,7,8)
two <- c(1,4,6,6,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,10,11,11,11,11,11,12,12,12,12,12)
</code>

<code>
> median(one)
[1] 3
> mean(one)
[1] 3.44

> median(two)
[1] 10
> mean(two)
[1] 9.28
</code>


<code>
> hist(one)
> hist(two)
> par(mfrow=c(1,2)) 
> hist(one)
> hist(two)
</code>

[{{eg.finding.central.tendency.with.skewedness.data.histogram.jpg}}]

<code>
par(mfrow=c(1,2)) 
hist(one)
abline(v=mean(one), col="blue", lty=1)
abline(v=median(one), col="red", lty=2)
legend(3.8,9.5, legend=c("mean", "median"), col=c("blue", "red"), lty=1:2, cex=.8)
hist(two)
abline(v=mean(two), col="blue", lty=1)
abline(v=median(two), col="red", lty=2)
legend(.5,9.5, legend=c("mean", "median"), col=c("blue", "red"), lty=1:2, cex=.8)
par(mfrow=c(1,1))  
</code>
[{{eg.finding.central.tendency.with.skewedness.data.histogram2.png}}]

==== e.g. 1 ====

quartile 명령어는 r에서는 없다. 대신 quantile을 사용합니다. 둘은 비슷하나 quantile은 4분위 이상의 것을 한다.

R에서 
<code>
temp <- c(19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 100, 102)
</code>

<code>
> quantile(temp)
  0%  25%  50%  75% 100% 
  19   20   20   21  102 
> quantile(temp, prob=1/4)
25% 
 20 
> quantile(temp, prob=c(1/4,2/4))
25% 50% 
 20  20 
> quantile(temp, prob=seq(0,1,1/4))
  0%  25%  50%  75% 100% 
  19   20   20   21  102 
> quantile(temp, prob=seq(0,1,1/2))
  0%  50% 100% 
  19   20  102 
> median(temp)
[1] 20
> 
> quantile(temp, prob=seq(0,1,1/8))
   0% 12.5%   25% 37.5%   50% 62.5%   75% 87.5%  100% 
   19    19    20    20    20    21    21   100   102 
</code>




==== e.g. 2 ====

  - Get mean, median for each data set.
  - State how each is skewed.

|value | 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  |
|freq  | 4  | 6  | 4  | 4  | 3  | 2  | 1  | 1  |


|ser  | value  |
| 1  | 1  |
| 2  | 1  |
| 3  | 1  |
| 4  | 1  |
| 5  | 2  |
| 6  | 2  |
| 7  | 2  |
| 8  | 2  |
| 9  | 2  |
| 10  | 2  |
| 11  | 3  |
| 12  | 3  |
| 13  | 3  |
| 14  | 3  |
| 15  | 4  |
| 16  | 4  |
| 17  | 4  |
| 18  | 4  |
| 19  | 5  |
| 20  | 5  |
| 21  | 5  |
| 22  | 6  |
| 23  | 6  |
| 24  | 7  |
| 25  | 8  |
| median  |  |
| mode  |  |
| mean  |  |
| min  |  |
| 1st q  |  |
| 3rd q  |  |
| max  |  |

<code>
> x <- c(1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8)
> x
 [1] 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8
> 
</code>

<code>
> median(x)
[1] 3
> mean(x)
[1] 3.44
> min(x)
[1] 1
> max(x)
[1] 8
> quantile(x)
  0%  25%  50%  75% 100% 
   1    2    3    5    8 
> 
</code>


|value | 1  | 4  | 6  | 8  | 9  | 10  | 11  | 12  |
|freq  | 1  | 1  | 2  | 3  | 4  | 4   | 5  | 5   |

<code>
{1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 31, 31, 32, 32, 32, 32, 33, 33, 33}
</code>
<code>
{1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 31, 31, 32, 32, 32, 32, 33, 33, 33}
</code>
<code>
{1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 32, 33, 33, 33}
</code>

===== Ugliness of mean and median =====
[{{hf.mean.median.improper.data.jpg}}]

<code>
## answer 
duckc <- c(1,1,1,2,2,2,2,3,3,31,31,32,32,32,32,33,33,33)
mean(duckc)
median(duckc)
</code>

<code>
## how do they change with 2 added and 31 added
duckc.2.added <- c(1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,31,31,32,32,32,32,33,33,33)
mean(duckc.2.added)
median(duckc.2.added)

duckc.31.added <- c(1,1,1,2,2,2,2,3,3,31,31,31,32,32,32,32,33,33,33)
mean(duckc.31.added)
median(duckc.31.added)
</code>


===== mode =====
see [[:mode]] document

modality 
bimodal
trimodal
multimodal
unimodal

It works for __both number measured and category measured data__.


===== Measuring central tendency =====

<WRAP info>
커피전문점의 관대한 CEO는 직원의 연봉을 인상하기로 하였습니다. 그런데 연봉을 2000불씩 올려야 할지 혹은 10%씩 올려야 할 지 알 수가 없습니다. 직원들의 연봉 평균값은 50,000불이고, 중앙값은 20,000불입니다. 또한 최빈값은 10,000불입니다. 

  - 커피전문점 직원들의 연봉이 모두 2000불씩 오르면 평균값, 중앙값, 최빈값은 어떻게 변할까요?
  - 커피전문점 직원들의 연봉이 모두 10%씩 오르면 평균, 중앙, 최빈값은 어떻게 변할까요?
  - 평균값과 일치하는 급여를 받는 사람은 어느 쪽 인상을 선호할까요? 
  - 최빈값과 동일한 급여를 받고 있다면 어느쪽 인상을 선호할까요?
</WRAP>
Mean
\begin{eqnarray*}
\mu & = &  \frac {\Sigma {X_{i}}} {N}  \\
& = & 50000 \\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\text {2000 raised to the mean} & = & \frac {\sum{(X_{i} + 2000)}} {N} \\
& = & \frac {\sum{(X_{i})} + \sum{(2000)}} {N} \\
& = & \frac {\sum{(X_{i})}} {N} + \frac {N * (2000)} {N} \\
& = & 50000 + 2000 \\
& = & 52000  
\end{eqnarray*}
Median
모든 연봉에 2000불을 더하는 것이므로 median 값의 위치는 변하지 않는다. 따라서 
\begin{eqnarray*}
\text{Original Median} (20000) + 2000 & = & 22000 
\end{eqnarray*}
Mode
모든 연봉에 2000불을 더하는 것이므로 mode 값은 원래 모드값인 10000 불에 2000불을 더한 값이다. 따라서 
\begin{eqnarray*}
\text{Original Mode} (10000) + 2000 & = & 12000 
\end{eqnarray*}

Mean
\begin{eqnarray*}
\text {10% raised to the mean} & = & \frac {\sum{(1.1 * X_{i})}} {N} \\
& = & \frac {1.1 * \sum{(X_{i})}} {N} \\
& = & 1.1 * \frac {\sum{(X_{i})}} {N} \\
& = & 1.1 * 50000 \\
& = & 55000  
\end{eqnarray*}
Median
모든 연봉에 10%를 더하는 것이므로 median 값의 위치는 변하지 않는다. 따라서 
\begin{eqnarray*}
\text{Original Median} (20000) * 1.1 & = & 22000 
\end{eqnarray*}
Mode
모든 연봉에 10%를 더하는 것이므로 mode 값은 원래 모드값인 10000 불에 1.1을 곱한 값이다. 따라서 
\begin{eqnarray*}
\text{Original Mode} (10000) * 1.1 & = & 11000 
\end{eqnarray*}