====== Variability and Spread ======
Who are you going to use for the upcoming game (basketball)?
^ A ^^^^^^^
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
^ B ^^^^^
| 7 | 9 | 10 | 11 | 13 |
| 1 | 2 | 4 | 2 | 1 |
^ C ^^^^^^^
| 3 | 6 | 7 | 10 | 11 | 13 | 30 |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 |
a <- c(7,8,9,9,10,10,11,11,12,13)
b <- c(7,9,9,10,10,10,10,11,11,13)
c <- c(3,3,6,7,7,10,10,10,11,13,30)
## c <- c(3,3,6,7,7,10,11,13,15,20,30)
data <- list(a,b,c)
data
sapply(data,mean)
sapply(data,median)
sapply(data,range)
sapply(data,sd)
sapply(data,var)
> a <- c(7,8,9,9,10,10,11,11,12,13)
> b <- c(7,9,9,10,10,10,10,11,11,13)
> c <- c(3,3,6,7,7,10,10,10,11,13,30)
>
> data <- list(a,b,c)
> data
[[1]]
[1] 7 8 9 9 10 10 11 11 12 13
[[2]]
[1] 7 9 9 10 10 10 10 11 11 13
[[3]]
[1] 3 3 6 7 7 10 10 10 11 13 30
> sapply(data,mean)
[1] 10 10 10
> sapply(data,median)
[1] 10 10 10
> sapply(data,range)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7 7 3
[2,] 13 13 30
>
>
> sapply(data,sd)
[1] 1.825742 1.563472 7.362065
> sapply(data,var)
[1] 3.333333 2.444444 54.200000
>
====== Range ======
[[:range]]
교재에서는 upper bound와 lower bound의 차이값을 range라고 설명하지만, R에서는 lower와 upper bound값을 제시한 것이 range값이 된다. 즉,
> sapply(data,range)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7 7 3
[2,] 13 13 30
13 - 7 = 6
13 - 7 = 6
30 - 3 = 27
그러나 range도 데이터의 분포를 정확하게 그려주지는 않는다. 아래의 첫번째, 두번째 데이터의 range는 모두 4 (8-12). 그러나, 개인 점수들의 분포는 다른 양상을 보인다.
[{{range.no.difference.jpg}}]
즉,
[{{range.problem.jpg}}]
아웃라이어의 (극단치의) 문제
a <- c(1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5}
b <- c(1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5, 10}
range(a) vs. range(b)
이런 두 그룹간의 range 차이는 outlier에 기인한다.
====== Quartile ======
[[:quartile]]
[{{hf.measuring.variability.p95.ex.jpg}}]
> basket <- c(3,3,6,7,7,10,10,10,11,13,30)
> basket <- sort(basket)
> basket
[1] 3 3 6 7 7 10 10 10 11 13 30
>
> quantile(basket)
0% 25% 50% 75% 100%
3.0 6.5 10.0 10.5 30.0
====== Percentile ======
How to find percentile
- First of all, line all your values up in ascending order.
- To find the position of the kth percentile out of n numbers, start off by calculating .$ k(\frac{n}{100})$
- If this gives you an integer, then your percentile is halfway between the value at position $ k(\frac{n}{100})$ and the next number along. Take the average of the numbers at these two positions to give you your percentile.
- If $ k(\frac{n}{100})$ is not an integer, then round it up. This then gives you the position of the percentile.
> k <- c(1:125)
> length(k)
[1] 125
> k
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
[21] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
[41] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
[61] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
[81] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
[101] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
[121] 121 122 123 124 125
>
10th percentile 을 구하려면
10 * ( 125 / 100) = 12.5
이 숫자를 반올림하면 13이므로 13번째 숫자가 10번째 페센타일이 된다 (13).
> k <- c(1:10)
> length(k)
[1] 10
> k
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20th percentile을 구하려면
$ 20 * (10 /100) = 2 $ 이므로
2번째와 3번째 사이의 점수의 평균이므로, 2.5이다.
====== Boxplot ======
# j <- c(6,7,7,8,9,10,10,11,11,13)
j <- c(7,9,9,10,10,10,10,11,11,13)
# m <- c(3,3,6,7,7,10,10,10,11,13,30)
m <- c(3,3,6,7,8,9,9,10,11,13,30)
median(j)
median(m)
[{{hf.boxplot.ex.jpg}}]
boxplot(j)
boxplot(m)
boxplot(j, m)
boxplot(j, m, horizontal = T)
====== Variance ======
[[:variance]]
* $ \sum \text{deviation score}^2 = \sum \text{ds}^2 $
* $ \sum \text{error}^2 $
* error = 평균값으로 개인값을 추측했을 때 발생하는 오차
* (평균으로 추측했을 때 생기는) 오차의 제곱의 합
* (오차의) 제곱의 합
* 제곱의 합
* Sum of Square (SS)
* $ \sum \text{ds}^2 = \text{SS} = \text{Sum of Square} $ (([[:regression#표준오차_잔여변량_standard_error_residual]]의 Figure 1을 보면 x와 y가 모두 숫자로 측정된 변인일 때, Y의 평균만을 사용해서 Y값을 예측했을 때는 SStotal이라고 설명한다.))
* $$ \text{variance} = \frac {SS}{n-1} = \frac {SS}{df}$$
* calculation of variance (an easy way) see [[:variance#variance_cal|variance calculation]]
* $ \displaystyle \frac{\sum(X_{i})}{N} - \mu^2$
* [{{variance.cal.jpg?600}}]
[[:standard deviation]]
====== Standard score ======
[[:standard score]]
$ z = \large\frac {x-\mu}{\sigma} $