====== 개인과제: 크래커 실험 F-test ======
{{Assignment_Ftest_jwurbane97.pdf|F test Assigment by jwurbane97 (전지원)}}


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<fs large>Experiment Result Table below : </fs>

^  Factor B: Fullness  ^^^^^^
| Factor A: \\ Weight  |                                                    | Empty                                             | Full                     |   |
| ::: | Normal         | n=20 \\  $\overline{X}=22$  \\ T=440 \\ SS=1540    | n=20 \\  $\overline{X}$ =15  \\ T=300 \\ SS=1270   | $T_\text{obese}=740$     |   |  
| ::: | Obese          | n=20 \\  $\overline{X}$ = 17  \\ T=340 \\ SS=1320  | n=20 \\  $\overline{X}$ = 18 \\ T=360 \\ SS=1266  | $T_\text{normal} = 700$  |   |  
| ::: |                |  $T_\text{empty} =780$                             | $T_\text{full} = 660$    |  | G=1440 \\ N=80 \\  $\Sigma{X^2}=31836$  |

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Step 1. Hypothesis : 
   Weight에 따라 Crackers 섭취량에 차이가 있을 것이다.
   Fullness에 따라 Crackers 섭취량에 차이가 있을 것이다.
   Weight와 Fullness의 상호작용에 따라 Crackers 섭취량에 차이가 있을 것이다.

Step 2. Locate the critical range for F-ratio. Calculate $dfs$

  * $df_\text{total}=N-1=80-1=79$ (k = The number of groups)
  * $df_\text{within}=k-1=4-1=3$ 
  * $df_\text{between} = N-k = 80-4 = 76$
  * $df_\text{A} = (The number of levels of A)-1 = 2-1=1$
  * $df_\text{B} = (The number of levels of B)-1 = 2-1=1$
  * $df_\text{AxB} = df_\text{between}-(df_\text{A}+df_\text{B})=3-(1+1)=1$

  * $SS_\text{total} = \frac{31836-1440^2}{80} = 5916$
  * $SS_\text{within} = 1540+1270+1320+1266=5396$
  * $SS_\text{between} = \frac{(440^2+300^2+340^2+360^2)}{20}-\frac{1440^2}{80}=520$
  * $SS_\text{A} = \frac{((440+300)^2+(340+360)^2)}{40} - \frac{1440^2}{80} = 20$
  * $SS_\text{B} = \frac{(780^2+660^2)}{40}-\frac{1440^2}{80} = 180$
  * $SS_\text{AxB} = SS_\text{between}-(SS_\text{A}+SS_\text{B}) = 520-(20+180)=320$

  * $MS_\text{A} = \frac{SS_\text{A}}{df_\text{A}}=\frac{20}{1}=20$
  * $MS_\text{B} = \frac{SS_\text{B}}{df_\text{B}}=\frac{180}{1}=180$
  * $MS_\text{AxB} = \frac{SS_\text{A*B}}{df_\text{A*B}}=\frac{320}{1}=320$
  * $MS_\text{within} = \frac{SS_\text{within}}{df_\text{within}}=\frac{5396}{76}=71$

Computed F-ratio
  * $F_\text{A}=\frac{MS_\text{A}}{MS_\text{within}}=\frac{20}{71}=0.28169$
  * $F_\text{B}=\frac{MS_\text{B}}{MS_\text{within}}=\frac{180}{71}=2.53521$
  * $F_\text{AxB}=\frac{MS_\text{A*B}}{MS_\text{within}}=\frac{20}{71}=4.50704$


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^  Table 1. Mean number of crackers eaten in each treatment condition  ^^^^
|         |          | Fullness         ||
|         |          | Empty \\ stomach       | Full \\ stomach     |
| Weight  | Normal   | M=22 \\ SD=9.00     | M=15 \\ SD=8.18  |
| :::     | Obese    | M=17 \\ SD=8.34     | M=18 \\ SD=8.16  |

^  Result  ^^^^^
| Source  | SS  | df  | MS  | F  |
| Between Treatment |520|3|
| - Factor A (weight)                 | 20    | 1   | 20   | 0.28169  |
| - Factor B (fullness)               | 180   | 1   | 180  | 2.53521  |
| - A x B interaction                 | 320   | 1   | 320  | 4.50704  |
| Within treatment                    | 5396  | 76  | 71   |          |
| Total                               | 5916  | 79  |      |          |
| weigth x fullness factorial design                              |||||

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Step 3. Statistical Decision
Result 표를 사용해 구한 $F_\text{A}(1,76)=0.28169$, $F_\text{B}(1,76)=2.53521$, $F_\text{A*B}(1,76)=4.50704$ 값은 F calculated value로, 이 값들이 시사하는 바는 다음과 같다. $F_\text{A*B}$은 numerator > denominator라는 점이다.
즉 F 값이 크다고 볼 수 있는데, F 값이 크다는 것은 통계학적으로 유의미하다고 볼 수 있고, F 값을 구하는 논리는 연구자가 발견한 차이의 비율이 특정 값을 초과할 경우 Group 간의 차이를 용인하는 것이라 할 수 있다. 결론적으로, 그룹 간의 Differences 가 있다고 판단할 수 있을 것이다. 이러한 생각의 타당성 검증을 위해 F distribution table을 통해 F critical value를 찾아보면, Degrees of freedom in denominator = 76인 값이 table에 없으니 분모를 60에 맞춰 계산. (1/76~1/60)
$F_\text{critical value}(1, 60, p<.05) = 4.00 $
Table을 참조하여 찾은 결과, $F_\text{critical value}$를 넘는 값은 $F_\text{A*B}$로, $F_\text{critical value}$보다 작은 $F_\text{A}, F_\text{B}$는 null hypothesis를 부정할 수 없고, $F_\text{A*B}$는 null hypothesis를 부정한다. 

Step 4. Result Explanation
$F_\text{A}, F_\text{B}$ 값의 경우
$F_\text{critical value}$ 값보다 작기 때문에 상관관계가 없다고 판단할 수 있다. 그러나
$F_\text{A*B}$의 값은
$F_\text{critical value}$의 값보다 크다. 따라서 두 Factor가 동시에 발생되어야 통계가 유의미하다는 것을 보여줄 수 있다. 이 말은 즉슨 Factor A와 Factor B는 하나의 Independent Variable로 작용 시 Cracker 섭취량과 상관관계가 성립한다고 보기 어렵지만, 함께 작용 (Interact)할 경우 상관관계가 성립할 수 있다고 볼 수 있다.