====== Mean and variance of sample mean ======
전제: Expected value (기대값)와 Variance (분산)의 연산에 과한 법칙으로는 (([[:statistical review]])) 참조.
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X,Y are Independent variables.

\begin{eqnarray*}
E[aX] &=& a E[X] \\
E[X+Y] &=& E[X] + E[Y] \\
Var[aX] &=& a^{\tiny{2}} Var[X] \\
Var[X+Y] &=& Var[X] + Var[Y]  
\end{eqnarray*}

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====== Mean of the sample mean ======
평균이 (mean) $\mu$ 이고, 분산이 (variance) $\sigma^{2}$ 인 모집단에서 (population) 독립적으로 추출되어 관촬되는 $X_{1}, X_{2}, . . . , X_{n}$ 이 있다고 하자. 이 샘플링은 아래와 같이 도식화되어 생각될 수 있다. 
\begin{eqnarray*}
X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ 
X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ 
X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ 
. . . . \\
X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ 
\end{eqnarray*}

이 때 $X_{2}$ 에 대한 기대값은 $E[X_{2}]$ 일 것이고, 이는 $\mu$ 일 것이다. 또한  $X_{2}$ 에 대한 분산값은 $Var[X_{2}]$ 일 것이고, 이는 $\sigma^{2}$ 일 것이다. 이를 일반화하면,

\begin{eqnarray*}
E\left[X_{i}\right] & = & \mu \\
Var\left[X_{i}\right] & = & \sigma^{2}
\end{eqnarray*}

한편, $\overline{X}$ 는 
\begin{align*}
\overline{X} & = \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \\ 
\end{align*}
이고 

\begin{align*}
E\left[\overline{X}\right] & = E \left[ \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \right] \\
& = \left( \frac{1}{n} \right) E \left[ X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \\ 
& = \left( \frac{1}{n} \right) \left(E \left[X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \right) \\ 
& = \left( \frac{1}{n} \right) \left(E[X_{1}] + E[X_{2}] + . . . + E[X_{n}]\right) \\ 
& = \left( \frac{1}{n} \right) \left(\mu + \mu + . . . + \mu\right)\\ 
& = \left( \frac{1}{n} \right) (n \mu)\\ 
& = \mu \\ \\ \\
E\left[\overline{X}\right] & = \mu_{\overline{X}} = \mu \\
\end{align*}




====== Variance of the sample mean ======

\begin{align*}
Var\left[\overline{X}\right] & = Var \left[ \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \right] \\
& = \left(\frac{1}{n}\right)^2 Var \left[ X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \\ 
& = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \left(Var[X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}]\right) \\ 
& = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \left(Var[X_{1}] + Var[X_{2}] + . . . + Var[X_{n}]\right)\\ 
& = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \left(\sigma^2 + \sigma^2 + . . . + \sigma^2\right) \\ 
& = \frac{1}{n^2} n \sigma^2 \\ 
& = \frac{\sigma^2}{n}  \\
\\
\\
Var\left[\overline{X}\right]  & = \frac{\sigma^2}{n} \\
\sigma_{\overline{X}}^{2} & = \frac{\sigma^2}{n} \\
\sigma_{\overline{X}}  & = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\
\end{align*}