====== Taylor series 테일러 급수 ======
Taylor's series of $e^x$
일반화된 설명은 너무 복잡하고 아래와 같이 생각해보자
$e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}}$ 이라고 하면
\begin{align*}
e^x & = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\
& = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . . \\
\end{align*}
$x=2$ 일 때
\begin{align}
e^x & = & 1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} + . . . \\
\end{align}
R에서
> e <- exp(1)
> e
[1] 2.718282
> e^2
[1] 7.389056
>
즉, $e^x = 7.389056$ 임을 알고 있다. 이제 $(1)$을 이용해서 계산을 해보고 이것이 R에서의 계산과 같음을 확인해 본다.
실제 계산을 해보면
^ Terms ^ ^
| $1 + 2$ | $3$ |
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!}$ | $5$ |
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} $ | $6.333333$ |
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} $ | $7$ |
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} $ | $7.266667$ |
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} + \displaystyle \frac{2^6}{6!} $ | $7.355556$ |
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} + \displaystyle \frac{2^6}{6!} + \displaystyle \frac{2^7}{7!} $ | $7.380952 $ |
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} + \displaystyle \frac{2^6}{6!} + \displaystyle \frac{2^7}{7!} + \displaystyle \frac{2^8}{8!} $ | $7.387302 $ |
| $. . . $ | $. . . $ |
이를 R에서 function으로 만들어 구현해보면
mytaylor <- function(x, n) {
mysum <- 0
for (k in c(0:n)) {
current <- (x^k/fact(k))
mysum <- mysum + current
cat(k, mysum, "\n")
}
}
위의 펑션을 사용하여
mytaylor(2, 8)
> mytaylor(2, 8)
0 1
1 3
2 5
3 6.333333
4 7
5 7.266667
6 7.355556
7 7.380952
8 7.387302
15 이상 계산하면 원계산의 7.389056 값을 보여준다.
> mytaylor(2, 15)
0 1
1 3
2 5
3 6.333333
4 7
5 7.266667
6 7.355556
7 7.380952
8 7.387302
9 7.388713
10 7.388995
11 7.389046
12 7.389055
13 7.389056
14 7.389056
15 7.389056
정리. 아래의 (2)가 $e^x$ 이 되는 형태가 많이 쓰이니 기억해 두는 것이 좋다.
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . . \\
& = e^x \nonumber \\
\end{align}