Bernoulli Distribution

성공과 실패로 이루어진 아웃풋으로 이루어진 실험을 베르누이 트라이얼이라고 한다. 아래의 가정을 갖는다.

• 각 시행은 두가지 결과(성공 또는 실패) 중 한 가지만 나타난다.
• 각 시행은 서로 독립이다.
• 각 시행의 성공확률은 p로 동일하다.
  • 실패할 확률을 (1-p) 혹은 q로 표현

Bernoulli distribution은 아래와 같이 표기한다.
$$ X \sim Bern(p) $$
그런데, 이는 Binomial distribution에서 횟수인 n = 1인 케이스에 해당한다.
$$ X \sim B(1, p) = X \sim Bern(p) $$

Binomial distribution의 E(X) 값과 Var(X) 값의 증명에서 Bernoulli distribution을 이용하는 방법이 쉽게 이해 되므로 아래와 같이 E(X)오 Var(X)를 구한다.

이는 $ X \sim Bern(p) $ 이므로

\begin{eqnarray*} E(X) & = & \sum{n*p(x)} \\ & = & (1*p)+(0*q) \\ & = & p \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} Var(X) & = & E((X - E(X))^{2}) \\ & = & \sum_{x}(x-E(X))^2p(x) \ldots \ldots \ldots E(X) = p \\ & = & (0 - p)^{2}*q + (1 - p)^{2}*p \\ & = & (0^2 - 2p0 + p^2)*q + (1-2p+p^2)*p \\ & = & p^2*(1-p) + (1-2p+p^2)*p \\ & = & p^2 - p^3 + p - 2p^2 + p^3 \\ & = & p - p^2 \\ & = & p(1-p) \\ & = & pq \end{eqnarray*}