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F-test

SS_total
SS_within
SS_between 값을 구하는 방식
- 그룹 간의 (between group) 분산을 구한다는 것은 세 그룹의 평균이 전체평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 보는 것이므로 $SS_{between} = \sum (\overline{G_i}-\overline{X_{total}})^2$ 이라고 할 수 있는데, $\overline{G_i}-\overline{X_{total}}$ 의 합은 전체평균에서 그룹 평균을 뺀 값의 합으로 정확히 그룹의 분산을 위한 값이라고 할 수는 없다. 오히려 각각의 값에 그룹 구성원의 숫자를 곱해주는 것이 그룹들의 분산 값을 보여 주는 지표라고 할 수 있다. 따라서, $SS_{between} = \sum n_i ( \overline{G_i} - \overline{X_{total}} )^2 $ 이 SS_between라고 하겠다.
- 이것을 다시 계산하기 쉬운 공식으로 바꾸어서 보면, $SS_{between} & = & \sum \frac{T^2}{n} - \frac{G^2}{N} \nonumber\\ $ 이 된다.

\begin{eqnarray*} \SS_{total} & = & \sum (X_i-\overline{X})^2 \\ & = & \sum (X_i^2 - 2 \overline{X} X_i + \overline{X}^2 ) \\ & = & \sum X_i^2 - 2 \overline{X} \sum X_i + \sum \overline{X}^2 \\ & = & \sum X_i^2 - 2 n \overline{X}^2 + n \overline{X}^2 \;\cdots\; \text{cause } \sum {X_i = n \overline{X} }; \\ & = & \sum X_i^2 - n \overline{X}^2 \;\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\; [1] \\ & = & \sum X_i^2 - \frac{(\sum {X_i)^2}}{n} \;\cdots\cdots\cdots\; [2] \;\;\;\; \text{cause } \overline{X}=\frac{\sum X_i}{n} \;\; \end{eqnarray*}

Stage 2