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====== Constructing Confidence Intervals ======
Guessing with Confidence

===== The problem with precision =====
**Point estimators are valuable, but they may give slight errors.**

{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-113036.png}}
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-113340.png}}

Rather than specify an exact value, we can specify two values we expect flavor duration to lie between. 

<WRAP group>
<WRAP 25% column>
$\Large{P(a < \mu < b) = 0.95} $  
</WRAP>
<WRAP 50% column>
As an example, you may want to choose a and b so that there’s a 95% chance of the interval containing the population mean. Finding the exact spot of a and b is the problem we are trying to solve. 
</WRAP>
</WRAP>

The far side of each end, (a, b) is called a **//confidence interval//**.

즉, 샘플의 평균을 Point estimate로 사용하고, 그 지점을 중심으로 95%의 확률을 가지는 구간을 구해 population의 평균으로 삼는다. 이 구간을 **//신뢰구간//**이라고 한다.

===== Four steps for finding confidence intervals =====
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122050.png}}

<fs large>**Step 1:**</fs> Choose your population statistic
If we go back to the work we did in the last chapter, then the sampling distribution of means has the following expectation and variance:
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122301.png}}

<fs large>**Step 2**</fs>: Find its __**sampling distribution**__ 
샘플평균들의 분산은 ($Var(\overline{X})$) 모집단의 특성인데 (parameter), 이를 알 수는 없으므로 아래와 같이 샘플의 분산값을 ($s^{2}$) 사용하여 샘플평균들의 분포를 만든다.

{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122550.png}}

위대한 풍선껌은 (Mighty Gumball) 100개의 풍선검을 샘플로 이용하여 단맛의 지속시간을 측정하고, 이 샘플의 
  * 평균값으로 62.7을 
  * 분산값으로 (s<sup>2</sup>) 25를 얻었다. 
이를 이용하여 샘플평균들의 (n=100일 때) 분포의 (distribution) 분산값을 예측해보면 0.25를 얻는다.

{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122843.png}}

위를 일반화해서 생각해보면 $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$이라고 할 때, 샘플의 숫자가 충분히 크다고 할 때 (n=100과 같이), $E(\overline{X})$ 값과 $Var(\overline{X})$ 값은 아래와 같다.
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-122946.png}}

<fs large>**Step 3:**</fs> Decide on the level of confidence
Confidence interval, 즉 a 지점과 b 지점사이의 구간을 0.95로 하기로 한다 (일반관행). 

<fs large>**Step 4:**</fs> Find the confidence limits
위에서 얻은 $\overline{X} \sim N(\mu, 0.25)$를 가정하고 아래의 a, b 구간을 95%라고 하면, 양 쪽 끝은 각각, 0.025 씩이 될 것이다. 
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-123220.png}}
즉, 우리는 $P(\overline{X} < a) = 0.025$ 에서의 a와, $P(\overline{X} > b) = 0.025$에서의 b를 구해서 이를 confidence limits의 경계값으로 삼으면 된다. 그런데 위의 그림과 같은 분포에서의 2.5%에 해당하는 부분을 직접 찾을 수는 없으므로 (r과 같은 프로그램이 없다고 가정), 표준점수를 기준으로 생각하여 z-table에서의 2.5%에 해당하는 z 점수를 찾아야 한다.
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-123406.png}}

{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-123432.png}}

$$P(z_{a} < Z < z_{b}) = 0.95$$
$$P(Z < z_{a}) = 0.025$$
$$z_{a} = -1.96$$
$$P(Z > z_{b}) = 0.025$$
$$z_{b} = +1.96$$

\begin{eqnarray*}
P\left(-1.96 < z < 1.96 \right) = 0.95 \\
P\left(-1.96 < \frac{\overline{X}-\mu}{0.5} < 1.96 \right) = 0.95 
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
-1.96 < \frac{\overline{X}-\mu}{0.5} < 1.96 \\ 
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray}
-1.96 & < & \frac{\overline{X}-\mu}{0.5} \nonumber \\ 
-1.96 * 0.5 & < & \overline{X}-\mu \nonumber \\ 
-0.98 + \mu & < & \overline{X} \nonumber \\ 
\mu & < & \overline{X} + 0.98 \\ 
\nonumber \\
\nonumber \\
\frac{\overline{X}-\mu}{0.5} & < & 1.96 \nonumber \\ 
\overline{X}-\mu & < & 1.96 * 0.5 \nonumber \\ 
\overline{X} & < & 0.98 + \mu  \nonumber \\ 
\overline{X} - 0.98 & < & \mu    
\end{eqnarray}

(1)과 (2)에서 \\
\begin{eqnarray*}
\;\;\;     \overline{X} - 0.98 < \mu < \overline{X} + 0.98 
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
P(\overline{X} - 0.98 < \mu < \overline{X} + 0.98) = 0.95 
\end{eqnarray*}
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-130922.png}}

$\overline{X} =  62.7$ 이었으므로 $62.7 - 0.98$와 $62.7 + 0.98$이 구하는 공간 (interval). 즉, 

$(61.72, 63.68)$ 을 전체 population의 단맛의 지속시간으로 삼는다. 


<WRAP box>
위의 1.96이 이해하고자 하는 것을 어렵게 하는 경향이 있음. 

  * 강사의 초기 강의 중에서 표준편차의 특성 중에서 68, 95, 99%에 대한 것으로 대체해서 생각하면
  * 표준점수로 했을 때 +- SD 1, 2, 3 에 해당되는 probability이 (면적) 각각 68, 95, 99%
  * 따라서 위의 경우는 95%에 해당하는 probability는 
    * $P(-2 < z < 2) = .95$
    * $P(-2 < \dfrac {\overline{X} - \mu}{sd} < 2) = .95$
    * 이렇게 계산을 하면
    * $P(\overline{X} -1 < \mu < \overline{X} + 1) = .95 $
</WRAP>

===== Handy shortcuts for confidence intervals =====

{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-131303.png}}

<WRAP help 90%>
Mighty Gumball took a sample of 50 gumballs and found that in the sample, the proportion of red gumballs is 0.25. Construct a 99% confidence interval for the proportion of red gumballs in the population.
</WRAP>
$$\left(p_{s} - c \sqrt{\frac{p_{s}*q_{s}}{n}}, \quad p_{s} + c \sqrt{\frac{p_{s}*q_{s}}{n}}\right)$$

\begin{eqnarray*}
c & = & 2.58 \\
p_{s} & = & 0.25  \\
q_{s} & = &  0.75  \\
n & = &  50
\end{eqnarray*} 

\begin{eqnarray*}
\text{CI} 
& = & \left(p_{s} - c \sqrt{\frac{p_{s}*q_{s}}{n}}, \quad p_{s} + c \sqrt{\frac{p_{s}*q_{s}}{n}}\right)  \\
& = & \left(0.25 - 2.58*\sqrt{\frac{0.25 * 0.75}{50}}, \quad 0.25 + 2.58*\sqrt{\frac{0.25 * 0.75}{50}} \right) \\
& = & (0.25 - 2.58 * 0.0612, \; 0.25 + 2.58 * 0.0612) \\
& = & (0.25 - 0.158, \; 0.25 + 0.158) \\
& = & (0.092, \; 0.408)
\end{eqnarray*} 

====== Just one more problem... ======
==== Step 1: Choose your population statistic ====
Mighty Gumball has taken a representative sample of 10 gumballs and weighed each one. In their sample, x = 0.5 oz and s<sup>2</sup> = 0.09.

==== Step 2: Find its sampling distribution ====
The normal distribution isn't a good approximation for every situation.

When sample sizes are large, the normal distribution is ideal for finding confidence intervals. It gives accurate results, irrespective of how the population itself is distributed. 

Here we have a different situation. Even though $X$ itself is distributed normally, $\overline{X}$ isn’t.

Because of small number of sample . . . . 

So what sort of distribution does X follow? It actually follows a t-distribution. 

{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-133241.png}}

v is called the number of **<fc #ff0000><fs large>degrees of freedom</fs></fc>**

{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-133508.png}}

==== Step 3: Decide on the level of confidence ====
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-133812.png}}

==== Step 4: Find the confidence limits ====
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-133742.png}}
Use degrees of freedom with alpha (p-level)

===== The t-distribution vs. the normal distribution =====
{{:b:head_first_statistics:pasted:20191203-133845.png}}

===== Exercise =====
<WRAP help>
Mighty Gumball has noticed a problem with their gumball dispensers. They have taken a sample of 30 machines, and found that the mean number of malfunctions is 15. Construct a 99% confidence interval for the number of malfunctions per month.
</WRAP>

위는 Poisson distribution이므로 $X \sim Po(15)$ 이고 $E(X) = \lambda$이고 $Var(X) = \lambda$이다. 따라서

$$\text {confidence interval} = (\overline{X} - c * se, \;\; \overline{X} + c * se)$$
$$\text{se} = \sqrt{(15/30)}$$ 이고
$$\text{c} = 2.58 (3) $$ 이므로

\begin{eqnarray*}
\text {confidence interval} & = & (\overline{X} - c * se, \;\; \overline{X} + c * se) \\
& = & (15 - 3 * \sqrt{(15/30)}, \;\; 15 + 3 * \sqrt{(15/30)}) \\
& = & (15 - 2.58 * \sqrt{(15/30)}, \;\; 15 + 2.58 * \sqrt{(15/30)}) \\
& = & (15 - 2.58 * 0.707, \;\; 15 + 2.58 * 0.707) \\
& = & (15 - 1.824, \;\; 15 + 1.824) \\
& = & (13.176, \;\; 16.824) 
\end{eqnarray*}