7장까지는 이산데이터에 (discrete data) 기초한 확률을 살펴보았다. 이산데이터란 정확한 가치에 기초한 것을 말하는 것으로 룰렛에서 이기는 횟수, 성공하는 횟수, 방문하는 횟수, 등등을 말한다. 비록 이는 종류로 측정된 것이 아닌 수치적데이터라고 할 수는 있지만, 연속적인 (continuous) 데이터와는 다른 성격을 갖는다. 끈의 길이나, IQ 점수, 성적(GPA), 등등은 단위적인 측정이 (discrete) 아닌, 정밀한 수치를 조밀하게 등분하여 측정하는 것을 말한다.

20분 동안만 기다리고 그 직후 떠나버리는 줄리의 상황에서 20분 동안의 시간 중에서 5분이상을 기달릴 확률을 구하는 것은 이산데이터와는 다른 성격을 갖는다. 아래는 베팅에서의 상금을 기초로 각 상황에 (discrete situation) 맞는 확률을 구하여 전체를 파악하는 것이지만, 시간의 경우는 이와 같은 방법을 수행할 수 없다.

연속적인 데이터에는 확률밀도함수를 (probability density function) 사용할 수 있다.

대부분 확률 = 면적과 같이 생각할 수 있다.

총 20 *1 의 면적 중에서 15 * 1의 면적이 P(X > 5)일 때의 확률이다. 이는

\begin{eqnarray*} 1 & = & 20 * \text{height} \\ \text{height} & = & 1/20 \\ & = & 0.05 \end{eqnarray*}

따라서 전체 면적을 1로 보는 상황에서, 이 경우는 f(x) = 0.05 라는 공식의 함수를 갖는다.

이 경우에 $P(X > 5)$는

\begin{eqnarray*} P(X > 5) & = & (20 - 5) * 0.05 \\ & = & 0.75 \end{eqnarray*}

우리가 면적을 이용하는 이유는 x축의 모든 경우를 discrete하게 (이산적으로) 나타낼 수 없기 때문이다.

연속형 데이터에서는, probability density functions 을 사용한다.

“키”와 같은 데이터 전체는 아래와 같은 분포곡선을 이용하여 표현한다.

주의: $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$ 처럼 표현.

\begin{align*} \mu & = \text{mean} \\ \sigma^{2} & = \text{variance} \\ \sqrt{\sigma^{2}} & = \sigma \\ & = \text{standard deviation} \end{align*}

No matter how far you go out on the graph, the probability density never equals 0.

아이디어는,

e.g.,
$X \sim N(71, 20.25)$

Julie's height = 64 inches 이므로, 아래의 면적에서 빗금친 부분을 구하면 된다.

결론적으로, 이 면적을 알기 위해서 64 인치보다 큰 면적을 계산해 준 테이블을 참조하게 되는데, 이 방법의 단점은 모든 평균과 표준편차를 고려한 면적을 제시해 줄 수 있는 표를 만들어 둘 수는 없다. 따라서, Z ~ N(0, 1) 의 표만을 제시하고, 모든 데이터는 Z (표준화) 하여 살펴본다 (아래 그림 참조)

이를 위해서 텍스트북은: 우선 평균을 0으로 옮기고

$X - 71 \sim N(0, 20.25)$

그래프를 표준편차가 1이 되도록 찌부러뜨린다 (squash).

이를 위해서

\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac {X - 71} {\sqrt{20.25}} & \sim & N(0, 1) \\ \displaystyle\frac {X - 71} {4.5} & \sim & N(0, 1) \end{eqnarray*}

이를 일반화하면

따라서, 이 데이터를 같이 변환하여 z 점수를 찾기 위해서는 (표준점수를 찾기 위해서는)

\begin{eqnarray*} z & = & \displaystyle \frac {x - \mu}{\sigma} \\ & = & \frac {64-71} {4.5} \\ & = & 1.56 \end{eqnarray*}

따라서, 표준점수를 1.56을 가지고 표준점수 테이블에서 1.56보다 큰 부분의 면적을 구한것을 참조하면 된다.

> a <- c(1:100)
> scale(a)
              [,1]
  [1,] -1.70622042
  [2,] -1.67175132
  [3,] -1.63728222
  [4,] -1.60281312
  [5,] -1.56834402
  [6,] -1.53387492
  [7,] -1.49940582
  [8,] -1.46493672
  [9,] -1.43046762
 [10,] -1.39599852
 [11,] -1.36152943
 [12,] -1.32706033
 [13,] -1.29259123
 [14,] -1.25812213
 [15,] -1.22365303
 [16,] -1.18918393
 [17,] -1.15471483
 [18,] -1.12024573
 [19,] -1.08577663
 [20,] -1.05130753
 [21,] -1.01683843
 [22,] -0.98236933
 [23,] -0.94790023
 [24,] -0.91343113
 [25,] -0.87896203
 [26,] -0.84449293
 [27,] -0.81002384
 [28,] -0.77555474
 [29,] -0.74108564
 [30,] -0.70661654
 [31,] -0.67214744
 [32,] -0.63767834
 [33,] -0.60320924
 [34,] -0.56874014
 [35,] -0.53427104
 [36,] -0.49980194
 [37,] -0.46533284
 [38,] -0.43086374
 [39,] -0.39639464
 [40,] -0.36192554
 [41,] -0.32745644
 [42,] -0.29298734
 [43,] -0.25851825
 [44,] -0.22404915
 [45,] -0.18958005
 [46,] -0.15511095
 [47,] -0.12064185
 [48,] -0.08617275
 [49,] -0.05170365
 [50,] -0.01723455
 [51,]  0.01723455
 [52,]  0.05170365
 [53,]  0.08617275
 [54,]  0.12064185
 [55,]  0.15511095
 [56,]  0.18958005
 [57,]  0.22404915
 [58,]  0.25851825
 [59,]  0.29298734
 [60,]  0.32745644
 [61,]  0.36192554
 [62,]  0.39639464
 [63,]  0.43086374
 [64,]  0.46533284
 [65,]  0.49980194
 [66,]  0.53427104
 [67,]  0.56874014
 [68,]  0.60320924
 [69,]  0.63767834
 [70,]  0.67214744
 [71,]  0.70661654
 [72,]  0.74108564
 [73,]  0.77555474
 [74,]  0.81002384
 [75,]  0.84449293
 [76,]  0.87896203
 [77,]  0.91343113
 [78,]  0.94790023
 [79,]  0.98236933
 [80,]  1.01683843
 [81,]  1.05130753
 [82,]  1.08577663
 [83,]  1.12024573
 [84,]  1.15471483
 [85,]  1.18918393
 [86,]  1.22365303
 [87,]  1.25812213
 [88,]  1.29259123
 [89,]  1.32706033
 [90,]  1.36152943
 [91,]  1.39599852
 [92,]  1.43046762
 [93,]  1.46493672
 [94,]  1.49940582
 [95,]  1.53387492
 [96,]  1.56834402
 [97,]  1.60281312
 [98,]  1.63728222
 [99,]  1.67175132
[100,]  1.70622042
attr(,"scaled:center")
[1] 50.5
attr(,"scaled:scale")
[1] 29.01149
> aa <- scale(a)
> mean(aa)
[1] 0
> sd(aa)
[1] 1
> 

해당 값은 (value) z 점수까지의 부분면적을 의미하므로, P(X > 1.56) 부분은 1에서 이 점수를 뺀 후에 구한다.

\begin{eqnarray*} P(Z > -1.56) & = & 1 - P(Z < -1.56) \\ & = & 1 - 0.0594 \\ & = & 0.9406 \end{eqnarray*}

That is, the probability that Julie’s date is taller than her is 0.9406.

> pnorm(0)
[1] 0.5
> pnorm(-1)
[1] 0.1586553
> pnorm(-1.56)
[1] 0.05937994
> 1- pnorm(-1.56)
> 1- pnorm(-1.56)
[1] 0.9406201

Julie with 5“ heels = 64 + 5 = 69
Remember X ~ N(71, 20.25)
mean = 71
variance = 20.25
sd = 4.5
z = (71-69)/4.5
z score = -0.44

\begin{eqnarray*} P(Z > -0.44) & = & 1 - P(Z < -0.44) \\ & = & 1 - 0.3300 \\ & = & 0.67 \end{eqnarray*}

> 1-pnorm(-0.44)
[1] 0.6700314
> 

> set.seed(101)
> rnorm(5) 
[1] -0.3260365  0.5524619 -0.6749438  0.2143595  0.3107692
> rnorm(5, mean=0, sd=1)
[1]  1.1739663  0.6187899 -0.1127343  0.9170283 -0.2232594
> 

> set.seed(101)
> rnorm(5, mean=100, sd=10)
[1]  96.73964 105.52462  93.25056 102.14359 103.10769
>

> set.seed(101)
> s1 <- rnorm(100, mean=100, sd=10)
> s1
  [1]  96.73964 105.52462  93.25056 102.14359 103.10769 111.73966 106.18790
  [8]  98.87266 109.17028  97.76741 105.26448  92.05156 114.27756  85.33180
 [15]  97.63317  98.06662  91.50245 100.58465  91.82330  79.49692  98.36244
 [22] 107.08522  97.32019  85.36078 107.44436  85.89610 104.67068  98.80680
 [29] 104.67239 104.98136 108.94937 102.79152 110.07866  79.26894 111.89853
 [36]  92.75626 101.67984 109.20335  83.28395 104.48469 104.82459 107.58214
 [43]  76.80673  95.40495  88.94616 104.02928 105.68935  92.93917  97.09909
 [50]  85.16122  88.49745  97.25529 105.77901  86.03097 107.49058  89.48813
 [57] 101.65381 111.29809 111.73722  95.72137  97.40198  85.88827  93.58642
 [64] 101.12458 104.22604 103.86835  93.12202 101.48902  99.42350  99.25177
 [71] 115.09897 116.19937 111.53158  99.22396  81.81065  89.62555 103.02492
 [78]  87.22054 101.38339  99.49016 118.52148 111.11675  94.88625  94.56119
 [85]  82.71073 104.70750 100.05387 113.48046 107.24097 115.52549 113.25470
 [92]  99.65735  96.38987  92.79835 102.82015  92.09474  95.55095 113.64993
 [99] 104.97454  91.85604
>
> mean(s1)
[1] 99.62809
> sd(s1)
[1] 9.34071
> 

> set.seed(101)
> dnorm(0)
[1] 0.3989423
> dnorm(0, mean=0, sd=1)
[1] 0.3989423
> dnorm(0, mean=0, sd=5)
[1] 0.07978846
> 

Mean <- 100
Sd <- 10

# X grid for non-standard normal distribution
x <- seq(-4, 4, length = 100) * Sd + Mean 

# Density function
f <- dnorm(x, Mean, Sd)

plot(x, f, type = "l", lwd = 2, col = "blue", ylab = "", xlab = "Weight")
abline(v = Mean) # Vertical line on the mean

# mean: mean of the Normal variable
# sd: standard deviation of the Normal variable
# lb: lower bound of the area
# ub: upper bound of the area
# acolor: color of the area
# ...: additional arguments to be passed to lines function

normal_area <- function(mean = 0, sd = 1, lb, ub, acolor = "lightgray", ...) {
    x <- seq(mean - 3 * sd, mean + 3 * sd, length = 100) 
    
    if (missing(lb)) {
       lb <- min(x)
    }
    if (missing(ub)) {
        ub <- max(x)
    }

    x2 <- seq(lb, ub, length = 100)    
    plot(x, dnorm(x, mean, sd), type = "n", ylab = "")
   
    y <- dnorm(x2, mean, sd)
    polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = acolor)
    lines(x, dnorm(x, mean, sd), type = "l", ...)
}

normal_area(mean = 0, sd = 1, lb = -1, ub = 2, lwd = 2)

pnorm(2)
pnorm(-1)
pnorm(2)-pnorm(-1)
ar <- round(pnorm(2)-pnorm(-1),3)

> pnorm(2)
[1] 0.9772499
> pnorm(-1)
[1] 0.1586553
> pnorm(2)-pnorm(-1)
[1] 0.8185946
> ar <- round(pnorm(2)-pnorm(-1),3)
> 

m.s <- 100
sd.s <- 15
lb <- 80
ub <- 110
normal_area(mean = m.s, sd = sd.s, lb = lb, ub = ub, lwd = 2)
ar <- round(pnorm(ub, m.s, sd.s)-pnorm(lb, m.s, sd.s),3)
text(m.s, .01, ar)

m.s <- 100
sd.s <- 15
lb <- m.s - sd.s
ub <- m.s + sd.s
normal_area(mean = m.s, sd = sd.s, lb = lb, ub = ub, lwd = 2)
ar <- round(pnorm(ub, m.s, sd.s)-pnorm(lb, m.s, sd.s),3)
text(m.s, .01, ar)

조건 2에서, P(X < 5) = 0.0045 이므로, 이에 해당하는 z 점수는 -2.61.
조건 3에서는, P(X < 15) = 0.9641이므로, 이에 해당하는 z 점수는 1.8

> qnorm(0.0045)
[1] -2.612054
> qnorm(0.9641)
[1] 1.800384

\begin{eqnarray*} -2.61 & = & \frac {5-\mu}{\sigma} \\ 1.8 & = & \frac {15-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray} -2.61 \sigma & = & 5-\mu \\ 1.8 \sigma & = & 15-\mu \end{eqnarray}

위에서 (1) - (2)를 하면
\begin{eqnarray*} (-2.61 - 1.8) \sigma & = & 5-\mu - 15 + \mu \\ -4.41 \sigma & = & -10 \\ \sigma & = & \frac {-10}{-4.41} \\ & = & 2.267574 \end{eqnarray*}

이를 (1)에 대입하면
\begin{eqnarray*} 1.8 * 2.267574 & = & 15-\mu \\ \mu & = & 15 - (1.8 * 2.267574) \\ & = & 10.91837 \end{eqnarray*}

따라서
\begin{eqnarray*} \mu & = & 10.9184 \\ \sigma & = & 2.27 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \text{bride} \sim N(150, 400) \\ \text{groom} \sim N(190, 500) \end{eqnarray*}

For a roller coaster ride: should be under 380 lbs combined bride and groom.

이전 기대치 계산에서
\begin{eqnarray*} E(X + Y) & = & E(X) + E(Y) \\ E(X - Y) & = & E(X) - E(Y) \\ Var(X + Y) & = & Var(X) + Var(Y) \\ Var(X - Y) & = & Var(X) + Var(Y) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu_{X}, \sigma^{2}_{X}) \\ Y \sim N(\mu_{Y}, \sigma^{2}_{Y}) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} X + Y \sim N(\mu, \sigma^{2}) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \mu & = & \mu_{X} + \mu_{Y} \\ \sigma^{2} & = & \sigma^{2}_{X} + \sigma^{2}_{Y} \end{eqnarray*}

즉, 전체 평균은 남자평균과 여자평균을 합한 것과 같고, 전체 분산값은 X 분산값과 Y 분산값을 더한 것이다.

즉,

\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu_{X}, \sigma^{2}_{X}) \\ Y \sim N(\mu_{Y}, \sigma^{2}_{Y}) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} X - Y \sim N(\mu, \sigma^{2}) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \mu & = & \mu_{X} - \mu_{Y} \\ \sigma^{2} & = & \sigma^{2}_{X} + \sigma^{2}_{Y} \end{eqnarray*}

즉, X - Y 분포의 평균은 남자평균과 여자평균의 차이와 같고, 전체 분산값은 X 분산값과 Y 분산값을 더한 것과 같다.

P(X + Y < 380) 을 알아내기 위해서 z-table을 참조하거나 R을 이용한다.

> pnorm(1.333)
[1] 0.9082409

pnorm in r: 표준점수에 해당하는 누적 퍼센티지 (Percentage)

> pnorm(1.333) 
[1] 0.9082409

참고로 R의 경우, 표준점수화는 r이 해 주므로, 아래와 같이 그 값을 구해도 된다.

> pnorm(380, 340, sqrt(900)) 
# 900은 variance이므로 sqrt값을 대입
# pnorm의 옵션은 (q, mean  = 0, stdev = 1)이다. 
# 즉, mean, 0과 stdev, 1값에서 (표준점수에서) 
# q값에 해당하는 왼쪽부분의 percentile을 구하라
[1] 0.9087888

dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

따라서
$$P(X + Y < 380) = 0.9082409 $$

\begin{eqnarray*} M & \sim & N(71, 20.25) \\ F & \sim & N(64, 16) \end{eqnarray*}

probability that a man will be at least 5 inches taller than a woman? = “probability that a man will be at least 5 inches taller than (an average) woman” 이므로 $P(X > F + 5)$ 을 구하라는 문제.
\begin{align*} P(X > F + 5) & = P(X - F > 5) \end{align*}

그런데,
\begin{eqnarray*} X - Y & \sim & N(\mu_{m} - \mu_{f}, \sigma^{2}_{m} + \sigma^{2}_{f}) \\ & \sim & N(7, 36.25) \end{eqnarray*}

즉, 남성과 여성 평균의 차이로 이루어진 분포는 $X \sim N(7, 36.25)$ 를 따른다.

위에서 $\sigma$ 값은 $\sqrt{\sigma^2}$ 이므로 $6.02$

X - Y = 5점일 때의 표준점수는
\begin{eqnarray*} z & = & \frac {(X-Y)-\mu}{\sigma} \\ & = & \frac {5-7}{6.02} \\ & = & -0.3322259 \end{eqnarray*}

따라서 정답은 1 - pnorm(-0.33) 인

> 1 - pnorm(-0.3322259, 0, 1)
[1] 0.6301407
# 혹은 아래와 같이 직접 구한다.
> 1 - pnorm(5, 7, sqrt(36.25))
[1] 0.6301241

# "1 -"를 사용하는 대신 lower.tail = FALSE 를 사용할 수도 있다. 
> pnorm(5, 7, sqrt(36.25), lower.tail = FALSE)
[1] 0.6301241

The distribution of 4X is actually a linear transform of X. It’s a transformation of X in the form aX + b, where a is equal to 4, and b is equal to 0. This is exactly the same sort of transform as we encountered earlier with discrete probability distributions. Linear transforms describe underlying changes to the size of the values in the probability distribution. This means that 4X actually describes the weight of an individual adult whose weight has been multiplied by 4.

즉, transforamtion의 경우는 한 개인의 몸무게가 4배가 될 때를 의미하지 단순히 4명을 합하는 것을 의미하지는 않음. 전자의 경우에 distribution은 아래를 따른다.

Rather than transforming the weight of each adult, what we really need to figure out is the probability distribution for the combined weight of four separate adults. In other words, we need to work out the probability distribution of four independent observations of X.

즉, 개인이 하나씩 늘어 4명이 된다. 개인이 4X가 (X=몸무게) 되는 것이 아님.

각 개인의 몸무게는 독립적인 observation이다. 이 경우의 분포는 아래르 따른다.

그러므로 앞의 문제에 대한 해답은:
$X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} \sim N(720, 2500)$ 로 표현할 수 있다.

$P(X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} < 800)$ 을 구하기 위해서는 800에 해당하는 표준점수를 구한 후, 누적 퍼센티지를 알아내면 된다.

\begin{eqnarray*} z & = & \frac {x-\mu}{\sigma} \\ & = & \frac {800-720}{50} \\ & = & \frac {80}{50} \\ & = & 1.6 \end{eqnarray*}

따라서, pnorm(1.6)의 점수인 0.9452007이 답.

> pnorm(1.6)
[1] 0.9452007
# 혹은
> pnorm(800, 720, sqrt(2500), lower.tail = TRUE)
[1] 0.9452007

Before going further:

> pbinom(29,40, 1/4, lower.tail = F)
[1] 4.630881e-11

# X ~ B(10, 0.2)의 분포를 따를 때, 
# X는 2일 때의 확률은? 즉, P(X=2)?
dbinom(2, 10, 0.2)

k <- c(0:50) # or
k <- seq(0, 50, 1)

b <- dbinom(k, 50, 0.2)
plot(k,b, type = "l")

b <- dbinom(k, 50, 0.6)
plot(k,b, type = "l")

k <- seq(0, 100, 1)
b <- dbinom(k, 100, 0.6)
plot(k, b, type = "l")

# X ~ B(10, 0.2)의 분포를 따를 때, 
# X는 2일 때의 확률은? 즉, P(X=2)?
dbinom(2, 10, 0.2)

k <- c(0:50) # or
k <- seq(0, 50, 1)

b <- dbinom(k, 50, 0.2)
plot(k, b, type = "p")

b <- dbinom(k, 50, 0.6)
plot(k, b, type = "p")

k <- seq(0, 100, 1)
b <- dbinom(k, 100, 0.6)
plot(k, b, type = "p")

k <- seq(30, 40, 1)
k
b <- dbinom(k, 40, 0.25)
b
sum(b)

> k <- seq(30, 40, 1)
> k
 [1] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
> b <- dbinom(k, 40, 0.25)
> b
 [1] 4.140329e-11 4.451967e-12 4.173719e-13 3.372702e-14 2.314599e-15 1.322628e-16 6.123279e-18 2.206587e-19
 [9] 5.806808e-21 9.926167e-23 8.271806e-25
> sum(b)
[1] 4.630881e-11
> 

n20 <- 20
n5 <- 5
p1 <- .1
p5 <- .5
x <- c(0:30)

a <- dbinom(x, n5, p1)
c <- dbinom(x, n20, p1)
b <- dbinom(x, n5, p5)
d <- dbinom(x, n20, p5)

par(mfcol=c(2,2))

barplot(a, names.arg=x, main="n=5, p=0.1")
barplot(c, names.arg=x, main="n=20, p=0.1")
barplot(b, names.arg=x, main="n=5, p=0.5")
barplot(d, names.arg=x, main="n=20, p=0.5")
par(mfcol=c(1,1))

We saw in the last exercise that the binomial distribution looks very similar to the normal distribution where p is around 0.5, and n is around 20. As a general rule, you can use the normal distribution to approximate the binomial when np and nq are both greater than 5.

np 와 nq 모두가 5가 넘을 때

이 때 Normal distribution의 특징은 N(np, npq)

P(X < 6) 이므로, P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4), P(X=5) 까지 구하여 이를 더한다.

pbinom(5, 12, 1/2)

> pbinom(5, 12, 1/2)
[1] 0.387207

> sum(dbinom(c(0:5),12,1/2))
[1] 0.387207
> 

교재의 조언에 따라서 Normal distribution으로 구하려면:

\begin{eqnarray*} X & \sim & B(12, 1/2) \\ n & = & 12 \\ p & = & 1/2 \\ q & = & 1/2 \end{eqnarray*}

이고, $np$와 $nq$ 모두가 5보다 크므로 Normal distribution에 대입하여 사용할 수 있다. 따라서 X 분포는 $X \sim N(np, nqp)$
를 따라야 한다. 즉, $X \sim N(6, 3)$일 때, P(X < 6)을 구해야 한다.

\begin{eqnarray*} z & = & \frac {(6 - 6)}{\sqrt{3}} \\ & = & 0 \end{eqnarray*}
이에 대한 probability는 $P(X < 6) = 0.5$ 이다. 이 값은 앞에서 구한 binomial distribution 계산과 다른 값을 갖는다. 즉, $0.387 \ne 0.5$ 이다. 그 이유는 . . . .

그렇다면, $X \sim N(6, 3)$의 조건에서 $P(X < 5.5) = ?$
\begin{eqnarray*} z & = & \frac {(5.5-6)}{\sqrt{3}} \\ & = & - 0.29 \end{eqnarray*}

> pnorm(-0.29)
[1] 0.3859081

# the below is the same as the above
> n <- 12
> p <- 1/2
> q <- 1-p
> pnorm(5.5, n*p, sqrt(n*p*q))
[1] 0.386415
> 

이 값은 위의 0.387에 근사하다.

$X \sim B(40, 1/4)$ 분포에서 $P(X \ge 30)$를 구하는 문제.
$np = 40 * 1/4 = 10$
$npq = 40 * 1/4 * 3/4 = 10 * 3/4 = 7.5$
따라서 X ~ N(np, npq)라고 할 때, N(10, 7.5) . . . .
교재에는 왜 X ~ N(10, 30)이라고 하는지 모르겠음. . . .

\begin{eqnarray*} z & = & \frac {X - \mu}{\sigma} \\ & = & \frac {29.5 - 10}{\sqrt{7.5}} \\ & = & 7.120393 \end{eqnarray*}

z score = 7.120393 을 z-table에서 참조할 수는 없다. . . .

> pnorm(29.5, 10, sqrt(7.5))
[1] 1
> 1 - pnorm(29.5, 10, sqrt(7.5))
[1] 5.381251e-13
> 

즉, 확율은 0에 가까움.

$\lambda > 15$ 일 때, Poisson distribution, $X \sim Po(\lambda)$는 $X \sim N(\lambda, \lambda)$ 의 성격을 취한다.

예)

par(mfcol=c(2,2))
barplot(dpois(c(1:10),.25), main = "lambda \n =0.25")
barplot(dpois(c(1:20),5), main = "lambda \n = 5")
barplot(dpois(c(1:10),1), main = "lambda \n = 1")
barplot(dpois(c(1:40),20), main = "lambda \n = 20")
par(mfcol=c(1,1))

$X \sim Po (\lambda = 40)$ 일 때 $P (X < 52)$ 를 구하는 문제

이 상황과 $N(\mu, \sigma^2)$ 상황을 같이 사용하는 것은 $X \sim N(\lambda, \lambda) $일 경우

$X \sim Po(40)$ 이므로
$X \sim N(40, 40)$ 일 때, $P(X < 52)$ 경우를 구하는 것

X < 52 일 때는 X < 51.5를 사용하고, $\mu = 40$, $\sigma = \sqrt{40}$을 사용한다.
\begin{eqnarray*} z & = & \frac {51.5 - 40}{\sqrt{40}} \\ & = & 1.82 \end{eqnarray*}

> 11.5/sqrt(40)
[1] 1.81831
> pnorm(1.82)
[1] 0.9656205
# Or
> pnorm(1.81831)
[1] 0.9654916
# Or
> pnorm(51.5, 40, sqrt(40))
[1] 0.9654916

$0.9654916 \sim 0.9656205$