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====== Binomial Distribution ======
  - 1번의 시행에서 특정 사건 A가 발생할 확률을 p라고 하면
  - n번의 (독립적인) 시행에서 사건 A가 발생할 때의 확률 분포를
  - 이항확률분포라고 한다.

\begin{eqnarray*}
{n \choose x} = \displaystyle \frac {n!}{x!(n-x)!}  \\
\end{eqnarray*}

**The number of successes in n independent Bernoulli trials has a binomial distribution.** 

이는 n 번의 독립적인 Bernoulli trials 로 볼 수 있다.
  * There are n independent trials
  * Each trial can result in one of two possible outcomes, labelled success and failure.
    * success can be a bad thing -- tire blow-up.
  * P(success) = p, 
  * P(failure) = 1-p

일반적으로 binomial distribution은 아래와 같이 계산된다. 

\begin{align*}
P(X=x) & = _{n}C_{x} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x}, \;\; \text{for} \;\; x = 0, 1, 2, . . ., n. \\
\text{or } & \\
P(X=x) & = {{n} \choose {x}} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x}, \;\; \text{for} \;\; x = 0, 1, 2, . . ., n. \\
\end{align*}

A balanced dice is rolled 3 times. What is probability a 5 comes up exactly twice?

p = 1/6
n = 3
x = 2

\begin{eqnarray*}
P(X=2) & = & {{3} \choose {2}} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{3-2} \\
& = & 0.0694
\end{eqnarray*}

<code>
> dbinom(2, 3, 1/6)
[1] 0.06944444
> 
</code>



\begin{eqnarray*}
X \sim B(n, p) \\
\end{eqnarray*}