# t-test 이해 확인
pre <- c(3,0,6,7,4,3,2,8,4)
post <- c(5,2,5,7,10,9,7,11,8)
mean(pre)
mean(post)
sd(pre)
sd(post)

diff.prepost <- pre-post
mean.diff <- mean(diff.prepost)
mean.diff 
sd.diff <- sd(diff.prepost)
sd.diff

#
# remember t test = diff / rand error
#
se <- sd.diff/sqrt(length(diff.prepost))
se                          
t.value <- mean.diff/se
t.value
df.value <- length(diff.prepost)-1
df.value

# pt function is for getting percentage of 
# t score with df value
pt(t.value, df=df.value)
2*pt(t.value, df=df.value)

qt(.975, df=df.value)
qt(.025, df=df.value)
test.output <- t.test(pre,post, paired=T)
test.output
# for the reference
# test.output$
str(test.output)



# from the quiz questions
# stu should understand the logic of the ttest 

set.seed(101)
rnorm2 <- function(n,mean,sd){ mean+sd*scale(rnorm(n)) }
A <- rnorm2(16, 26, sqrt(1160/15))
B <- rnorm2(16, 19, sqrt(1000/15))
A <- c(A)
B <- c(B)
# we know sqrt(1160/15) is A's sdev
# hence, A's var is sqrt(1160/15)^2
# hence, A's SS is sqrt(1160/15)^2 * 15
# this is 1160

# from the above,
# the difference between the A and B means
# remember we try to find
# difference due to the treatment / 
# / random chance of error
diff <- 26 - 19

# for se
# we know that the situation refers to
# #2 se two independent samples t-test
# which is sqrt(pooled.var/na + pooled.var/nb)

SSa <- 1160
SSb <- 1000
n.a <- 16
n.b <- 16
df.a <- n.a - 1 
df.b <- n.b - 1

# we know that we are testing the difference 
# between two independent sample means.
# Hence, we need to use poole variance between 
# the two group. See
# http://commres.net/wiki/t-test#t-test_%EB%B9%84%EA%B5%90
pooled.var <- (SSa + SSb) / (df.a + df.b)
se <- sqrt(pooled.var/n.a + pooled.var/n.b)
# Remember t test calculation is based on 
# diff / random error 
t.calculated <- diff / se
pooled.var
diff
se
t.calculated

# Now use t.test function for two group
# (independent sample) t-test
# with an assumption that variances of 
# the two gorup are the same.
t.result <- t.test(A, B, var.equal = T)
t.result

# t.result$statistic = t.calculated
# t.result$p.value = probability level of 
# wrong decision with the t calculated value
str(t.result)
t.result$statistic
t.result$p.value

# the above p.value can be obtained with 
# pt function
p.value <- 2*pt(-t.result$statistic, df = df.a + df.b)
p.value 
t.result$p.value

##

## different approach
# 

# A combined group with group A and B
# We call it group total
# we can obtain its mean, variance, ss, df, etc.
# 
A
B
dat <- c(A,B)
dat

mean.total <- mean(dat)
var.total <- var(dat)
# variance를 ms라고 부르기도 한다
ms.total <- var.total

df.total <- length(dat)-1
ss.total <- var.total*df.total
ss.total.check <- sum((dat-mean(dat))^2)

mean.total
var.total
ms.total
df.total 
ss.total
ss.total.check

# Now for each group
mean.a <- mean(A)
mean.b <- mean(B)
mean.a
mean.b

# 그룹 간의 차이에서 나타나는 분산
# 수업시간에 설명을 잘 들을 것

# mean.total 에서 그룹a의 평균까지의 차이를 구한 후
# 이를 제곱하여 그룹 A 멤버의 숫자만큼 더한다 = 
# 즉, SS를 구하는 방법. 
# 전체평균에서 그룹평균을 뺀 것의 제곱을 
# 그룹 구성원 숫자만큼 더하는 것
# 그리고 이들을 다시 모두 더하여 
# ss.between에 저장

length(A) * ((mean.total - mean.a)^2)
length(B) * ((mean.total - mean.b)^2)

ss.between <- 
  length(A)*((mean.total - mean.a)^2) + 
  length(B)*((mean.total - mean.b)^2)
ss.between
# df between group은 연구에 사용된 
# 그룹의 숫자에서 1을 뺀 숫자
df.between <- 2 - 1
# 이 그룹 간 차이에 기인하는 분산 값은
ms.between <- ss.between / df.between

# 한편 ss.a 와 ss.b는 각 그룹 내의 
# 분산을 알아보기 위한 방법
ss.a <- var(A) * df.a
ss.b <- var(B) * df.b
ss.within <- ss.a + ss.b
df.a <- length(A)-1
df.b <- length(B)-1
df.within <- df.a + df.b
ms.within <- ss.within / df.within

# 여기까지 우리는 
# 전체분산
# 그룹간분산
# 그룹내분산 값을 
# 구한 것

# ms.between은 그룹의 차이때문에 생긴
# 분산으로 IV 혹은 treatment 때문에 생기는
# 차이에 기인하는 분산이고

# ms.within은 각 그룹 내부에서 일어나는 분산이므로
# (variation이므로) 연구자의 관심사와는 상관이 없이
# 나타나는 random한 분산이라고 하면 

# t test 때와 마찬가지로 
# 그룹의 차이 / 랜덤 차이를 (에러 -> 분산은 에러라고도 했다)
# 구해볼 수 있다. 

# 즉, 그룹갑분산은 사실 = diff (between groups) 
# 그리고 그룹내 분산은 사실 = re
# 따라서 우리는 위 둘 간의 비율을 t test와 같이 
# 살펴볼 수 있다


# 이것을 f.calculated 이라고 하고
f.calculated <- ms.between / ms.within
# 이 값을 출력해 본다
f.calculated
# 이 계산은 차이와 랜덤에러의 비율이
# df에 따라서 얼마나 되어야 그 차이가
# 충분히 큰 것인지를 판단하기 위해서
# 쓰인다. 여기서 df에는 두 가지 종류가
# 있다. df.between 그리고 df.within

# percentage of f distribution with
# df1 and df2 option
# 이는 그림의 왼쪽을 나타내므로 
# 차이가 점점 커지게 되는 오른쪽을 
# 계산하기 위해서는 1-x를 취한다
f.calculated.pvalue <- 1-pf(f.calculated, df1=df.between, df2=df.within)
f.calculated.pvalue
# 한편,  t test를 했었을 때 (A, B 그룹을 가지고 independent 
# samples t-test를) 아웃 풋은 
t.result 

# 그리고 f 계산에서의 p value는 t test에서의 p.value와 같다
f.calculated.pvalue
t.result$p.value

# 또한
# 여기엣 t 값은 t.result$statistic 으로 프린트아웃할 수 있다
# 이 값이 2.33333 이었다
t.result$statistic
# 혹은 우리가 계산한 값이었던 
# t.calculated
t.calculated

# 그런데 위의 값을 제곱한 값이 바로 f.calculated 값
f.calculated
t.calculated^2

# 혹은 f.calculated 값을 제곱근한 값이 t.calculated
sqrt(f.calculated) 
t.calculated

# Now check this
ss.total
ss.between
ss.within
ss.total 
ss.between + ss.within

# 한편 df는 
# df.total  30 - 1
df.total 
df.between
df.within
df.total 
df.between + df.within

# 한 편

A 
B
comb <- stack(list(a=A, b=B))
comb
colnames(comb)[1] <- "values"
colnames(comb)[2] <- "group"
comb

a.res <- aov(values ~ group, data=comb)
a.res.sum <- summary(a.res)
a.res.sum
# 위에서 F value는 5.444 
# 그리고 전체적인 아웃풋을 보면 
# Df group 과 Df Residuals
# Sum Sq group 과 Residuals
# Mean Sq (MS) group 과 MS residuals

# MS.group = 
ms.between

# MS.within = 
ms.within

# F value
ms.between / ms.within 
f.calculated

# 아래는 기존의 아웃풋에서 확인하는 것
str(a.res.sum)
a.res.sum[[1]][1,4]
sqrt(a.res.sum[[1]][1,4])
t.result$statistic

# from the quiz questions
# stu should understand the logic of the ttest

set.seed(101)
rnorm2 ← function(n,mean,sd){ mean+sd*scale(rnorm(n)) }
A ← rnorm2(16, 26, sqrt(1160/15))
B ← rnorm2(16, 19, sqrt(1000/15))
A ← c(A)
B ← c(B)
# we know sqrt(1160/15) is A's sdev
# hence, A's var is sqrt(1160/15)^2
# hence, A's SS is sqrt(1160/15)^2 * 15
# this is 1160

# from the above,
# the difference between the A and B means
# remember we try to find
# difference due to the treatment /
# / random chance of error
diff ← 26 - 19

# for se
# we know that the situation refers to
# #2 se two independent samples t-test
# which is sqrt(pooled.var/na + pooled.var/nb)

SSa ← 1160
SSb ← 1000
n.a ← 16
n.b ← 16
df.a ← n.a - 1
df.b ← n.b - 1

# we know that we are testing the difference
# between two independent sample means.
# Hence, we need to use poole variance between
# the two group. See
# http://commres.net/wiki/t-test#t-test_%EB%B9%84%EA%B5%90
pooled.var ← (SSa + SSb) / (df.a + df.b)
se ← sqrt(pooled.var/n.a + pooled.var/n.b)
# Remember t test calculation is based on
# diff / random error
t.calculated ← diff / se
pooled.var

[1] 72

diff

[1] 7

se

[1] 3

t.calculated

[1] 2.333333

# Now use t.test function for two group
# (independent sample) t-test
# with an assumption that variances of
# the two gorup are the same.
t.result ← t.test(A, B, var.equal = T)
t.result

Two Sample t-test

data: A and B
t = 2.3333, df = 30, p-value = 0.02652
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:

0.8731826 13.1268174

sample estimates:
mean of x mean of y

     26        19 

# t.result$statistic = t.calculated
# t.result$p.value = probability level of
# wrong decision with the t calculated value
str(t.result)

List of 10
$ statistic : Named num 2.33

..- attr(*, "names")= chr "t"

$ parameter : Named num 30

..- attr(*, "names")= chr "df"

$ p.value : num 0.0265
$ conf.int : num [1:2] 0.873 13.127

..- attr(*, "conf.level")= num 0.95

$ estimate : Named num [1:2] 26 19

..- attr(*, "names")= chr [1:2] "mean of x" "mean of y"

$ null.value : Named num 0

..- attr(*, "names")= chr "difference in means"

$ stderr : num 3
$ alternative: chr “two.sided”
$ method : chr “ Two Sample t-test”
$ data.name : chr “A and B”
- attr(*, “class”)= chr “htest”

t.result$statistic

     t 

2.333333
t.result$p.value

[1] 0.02652366

# the above p.value can be obtained with
# pt function
p.value ← 2*pt(-t.result$statistic, df = df.a + df.b)
p.value

       t 

0.02652366
t.result$p.value

[1] 0.02652366

##

## different approach
#

# A combined group with group A and B
# We call it group total
# we can obtain its mean, variance, ss, df, etc.
#
A

[1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539
[6] 38.331534 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136
[11] 30.847396 15.575648 41.264878 7.808831 22.026979
[16] 22.527973

B

[1] 12.941146 21.270062 13.235378 1.931364 19.232163
[6] 27.231465 18.276359 7.308871 27.560815 7.799787
[11] 25.017185 19.639663 25.018756 25.302096 28.941002
[16] 23.293888

dat ← c(A,B)
dat

[1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539
[6] 38.331534 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136
[11] 30.847396 15.575648 41.264878 7.808831 22.026979
[16] 22.527973 12.941146 21.270062 13.235378 1.931364
[21] 19.232163 27.231465 18.276359 7.308871 27.560815
[26] 7.799787 25.017185 19.639663 25.018756 25.302096
[31] 28.941002 23.293888

mean.total ← mean(dat)
var.total ← var(dat)
# variance를 ms라고 부르기도 한다
ms.total ← var.total

df.total ← length(dat)-1
ss.total ← var.total*df.total
ss.total.check ← sum¹⁾^2)

mean.total

[1] 22.5

var.total

[1] 82.32258

ms.total

[1] 82.32258

df.total

[1] 31

ss.total

[1] 2552

ss.total.check

[1] 2552

# Now for each group
mean.a ← mean(A)
mean.b ← mean(B)
mean.a

[1] 26

mean.b

[1] 19

# 그룹 간의 차이에서 나타나는 분산
# 수업시간에 설명을 잘 들을 것

# mean.total 에서 그룹a의 평균까지의 차이를 구한 후
# 이를 제곱하여 그룹 A 멤버의 숫자만큼 더한다 =
# 즉, SS를 구하는 방법.
# 전체평균에서 그룹평균을 뺀 것의 제곱을
# 그룹 구성원 숫자만큼 더하는 것
# 그리고 이들을 다시 모두 더하여
# ss.between에 저장

length(A) * ²⁾