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-====== CLT ======
+====== 중심극한정리 (Central Limit Theorem) ======
-===== Introduction =====
+수학적으로 간단히 표현하면,
-Central Limit Theorem (CLT) 이란:: 평균이 $ \mu$ , 그리고 표준편차( $ s$ )가 $ \sigma$ 인 모든 종류의 모집단에서, 샘플 숫자를 $ n$ 으로 하여 샘플평균을 분포시키면, 그 분포는 정규분포(normal distribution)에 가까와지며, 그 분포의 평균(mean, $ \mu_{\overline{x}}$ )은 $ \mu$ 와 같은 값이 되고, 표준편차(stdev, $ s_{\overline{x}}$ )는 $ \sigma / \sqrt{n}$ 가 된다는 것이다.
+$\overline{X} \sim \displaystyle \text{N} \left(\mu, \dfrac{\sigma^{2}}{n} \right)$ 을 말한다.
+===== 소개 =====
+Central Limit Theorem (CLT) 이란:: 평균이 $ \mu$ , 그리고 표준편차( $ s$ )가 $ \sigma$ 인 모든 종류의 모집단에서, 샘플 숫자를 $ n$ 으로 하여 샘플평균을 분포시키면, 그 분포는 정규분포(normal distribution)를 이루며, 그 분포의 평균(mean, $ \mu_{\overline{x}}$ )은 $ \mu$ 와 같은 값이 되고((참조: [[mean and variance of the sample mean]])), 표준편차(stdev, $ s_{\overline{x}}$ )는 $ \sigma / \sqrt{n}$가 된다는 것이다.
+{{  :pasted:20200420-135017.png?450}}
+위는 사이즈, n=36 의 샘플을 무한반복해서 (여기서는 무한반복할 수 없으므로 10,000번) 취한 샘플들의 평균을 기록한 히스토그램. 여기서 우리는 그림만으로 "아, 이 그래프의 최소값은 60정도이고 최대값은 80 정도로군" 이라고 파악할 수 있다. 따라서, 대략이지만 우리는 아래 같은 이야기를 할 수 있다.
+  * 우리가 만약 n=36개짜리 샘플을 하나 뽑는다면, 그 샘플의 평균은 위의 그래프 어딘가에 존재하게 된다.
+  * 그림이지만, 우리는 최소, 최대값이 각각 60과 80이므로 그 샘플의 평균이 60에서 80사이에 존재할 확률은 거의 1이 될 것이라고 할 수 있다. 그러나, 그림만으로는 그 최소값이 (최대값이) 정확이 어디에 위치하는지는 모른다.
+  * 만약에 우리가 위 그래프의 [[:standard deviation|표준편차를]] 알고 있다면 우리는 이의 특징인 68-95-99%법칙을 이용해서 n=36짜리 샘플의 평균이 나올 확률을 이야기해볼 수 있다. 즉, 그래프의 sd값이 a라고 한다면, 우리는 전체 평균인 70을 중심으로 왼쪽으로 a, 오른 쪽으로 a만큼 떨어진 부분이 약 68%이므로 70 +- a 에서 평균이 나올 확률은 68%라고 한다. 만약에 2a를 사용한다면, 우리는 70 +- 2a 부분만큼이 95%이므로 70 +- 2a 사이에서 그 평균이 나올 확률은 95%라고 한다. 70 +- 3a 또한 마찬가지 논리로 99%의 확률로 그 평균이 이 구간에서 존재하게 된다.
+  * 그런데 우리는 [[:mean and variance of the sample mean]]이라는 문서를 통해서 아래를 알고 있다.
+    * $\mu_{\overline{X}} = E[\overline{X}] = \mu $
+    * $\sigma_{\overline{X}} = Var[\overline{X}] = \dfrac{\sigma^{2}}{n}$
+  * 이를 위의 상황에 대입해보면
+    * $\text{mean of population} = \mu = 70$이고,
+    * $\text{standard deviation of population} = \sigma = 15 일 때$
+    * $n = 36$ 크기의 샘플을 무한 반복해서 뽑아 그 평균을 기록한다면
+    * 그 샘플평균들의 평균은, 즉, $\mu_{\overline{X}} = E[\overline{X}] = \mu = 70 $ 일 것이고
+    * 그 샘플평균들의 분산값은, $\sigma^{2}_{\overline{X}} = Var[\overline{X}] = \dfrac{\sigma^{2}}{n} = \dfrac{15^2}{36} = 225/36 = 6.25$ 일 것이며, 따라서
+    * 그 샘플평균들의 표준편차 값은 $\sigma_{\overline{X}} = \sqrt{6.25} = 2.5 $ 임을 알 수 있다.
+  * 위로 인해 우리는 언급하였던 a가 2.5 임을 알게 되었다. 따라서, 우리는
+  * 70 +- 2.5인 67.5 -- 72.5 에서 n=36 짜리 샘플의 평균이 나타날 확률은, 다시 이야기 하면 n=36짜리 샘플의 평균이 67.5 -- 72.5 사이에 존재할 확률은 68% 라고 주장할 수 있다.
+  * 마찬가지로 65 -- 75 사이에서 그 샘플의 평균이 존재할 확률은 95% 이다.
+  * 62.5 -- 77.5 사이에서 평균이 나타날 확률은 99% 일 것이다 라고 주장할 수 있다.
+{{:pasted/20200414-213151.png}}
+우리는 샘플의 사이즈가 커질 수록 (n의 크기가 커질 수록, 즉, 4,36, 100, 400, 900 과 같이), 그 샘플평균들의 SD값은 작아짐을 위의 그래프를 통해서 알았다. 그리고, 이는 [[:mean and variance of the sample mean]]이라는 문서를 통해서도 그것을 알수 있다
+  * n = 4 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{2} = 7.5$
+  * n = 36 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{6} = 2.5$
+  * n = 100 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{10} = 1.5$
+  * n = 400 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{20} = 0.75$
+  * n = 900 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{30} = 0.5$
+  * . . .
+  * n = 2500 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{50} = 0.3$
+  * n = 3600 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{60} = 0.25$
+그런데, 각 단계에서 $\sigma_{\overline{X}} $의 차이값은
+  * n = 4,
+  * n = 36, 7.5 - 2.5 = 5
+  * n = 100, 2.5 - 1.5 = 1
+  * n = 400, 1.5 - 0.75  = 0.75
+  * n = 900, 0.75 - 0.5  = 0.25
+  * n = 2500, 0.5 - 0.3  = 0.2
+  * n = 3600, 0.3 - 0.25  = 0.05
+즉, 샘플의 숫자가 커질 수록 $\sigma_{\overline{X}} $ 의 단위는 작아지는데, 작아지는 정도가 (스케일이) 점차 줄어든다. 즉, 처음에는 5만큼으로 드라마틱하게 줄고, 다음은 1만큼, 다음은 3/4만큼, 다음은 1/4만큼, . . . .
+위의 이야기는 아래와 같이 정리할 수 있다.
+$\text{N} \left(\mu, \sigma \right)$ 인 분포에서 n = n인 샘플을 계속 취해서 그 샘플들의 평균을 모은 분포는
 __정규분포에 가까와 진다__.
-  * 정규분포에 가까와 진다고 표현한 것은 샘플의 숫자가 작을 경우에는 정규분포와 완전하게 일치하지 않기 때문이다. 그러나, n=30 정도만 되면 샘플평균들의 분포는 거의 완벽한 정규분포곡선을 만든다. 사실, 아래의 두 조건 중 어느 하나만을 만족하면, distribution of sample means은 완전한 normal distribution을 만든다. 즉,
+  * 정규분포에 가까와 진다고 표현한 것은 샘플의 숫자가 작을 경우에는 정규분포와 완전하게 일치하지 않기 때문이다. 그러나, n=30 정도만 되면 샘플평균들의 분포는 거의 완벽한 정규분포곡선을 만든다. 사실, 아래의 두 조건 중 어느 하나만을 만족하면, distribution of sample means는 ([[:sampling distribution]]은) 완전한 normal distribution을 만든다. 즉,
   * sample을 취하는 population이 normal distribution을 이룬다
-__n이 비교적 클 때. 약 30 이상일 때__.
+__그 샘플평균분포의 평균은 모집단의 평균을 따른다__.
   * "mean of sample means은 population의 mean값과 같다" 즉, 샘플평균들의 평균은 모집단의 평균값과 같아진다.
   * 위의 문장이 의미하는 것은 수 많은 샘플을 취했을 때, 그 샘플들의 평균은 실제 population의 평균값에 근사하게 된다는 것을 의미한다. (위의 이유에서, the mean of the distribution of sample means를 expected value of $ \overline{X}$ 라고 부른다.)
+  * 이는 $E[\overline{X}] = \mu $ 라고 설명한 부분이다.
-__Standard Error__  \\
+__샘플평균분포의 분산은__ $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ __을 따른다__
-standard deviation of the distribution of sample means를 특별히 standard error of $ \overline{X}$ 라고 부른다.
+standard deviation of the distribution of the sample mean를 (샘플평균들의 표준편차를) 특별히
+standard error of $ \overline{X}$ 라고 (샘플평균의 표준오차)부르는데 그 값은 $ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$를 따르게 된다.
 [[Standard Error]] 또한 standard deviation 이므로 (즉, standard deviation of distribution of sample means), 각 샘플의 평균이 샘플들의 평균값(the mean of distribution of sample means)에서 얼마나 떨어져 있는 가를 나타내는 지표로 쓰인다. 다시 말하면, 이 특별한 standard deviation은 내가 샘플링을 했을 때, 그 __샘플의 평균값(the mean of an sample)이 모집단의 평균값(the mean of population)에서 얼마나 떨어져 있을 수 있는가__의 가능성(확율)을 나타내는 값이다. 즉, standard error = $ \sigma_{\overline{X}}$ = standard deviation distance between $ \overline{X}$ and $ \mu$ 라고 할 수 있다. 이 standard error 값에 영향을 주는 것은 두 가지가 있다.
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 \end{eqnarray}
+즉, 이는
+$\overline{X} \sim \displaystyle \text{N} \left(\mu, \dfrac{\sigma^{2}}{n} \right)$ 를 말한다.
 ===== e.g., =====
 Central Limit Theorem이 사용되는 예를 들어보면 . . . . \\