central_limit_theorem
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| ====== 중심극한정리 (Central Limit Theorem) ====== | ====== 중심극한정리 (Central Limit Theorem) ====== | ||
| 수학적으로 간단히 표현하면, | 수학적으로 간단히 표현하면, | ||
| - | $\overline{X} \sim \displaystyle \text{N} \left(\mu, \dfrac{\sigma^{2}}{n} \right)$ 혹은 | + | $\overline{X} \sim \displaystyle \text{N} \left(\mu, \dfrac{\sigma^{2}}{n} \right)$ 을 말한다. |
| - | $\overline{X} \sim \displaystyle \text{N} \left(\mu, \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^{2} \right)$ 을 말한다. | + | |
| ===== 소개 ===== | ===== 소개 ===== | ||
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| 우리는 샘플의 사이즈가 커질 수록 (n의 크기가 커질 수록, 즉, 4,36, 100, 400, 900 과 같이), 그 샘플평균들의 SD값은 작아짐을 위의 그래프를 통해서 알았다. 그리고, 이는 [[:mean and variance of the sample mean]]이라는 문서를 통해서도 그것을 알수 있다 | 우리는 샘플의 사이즈가 커질 수록 (n의 크기가 커질 수록, 즉, 4,36, 100, 400, 900 과 같이), 그 샘플평균들의 SD값은 작아짐을 위의 그래프를 통해서 알았다. 그리고, 이는 [[:mean and variance of the sample mean]]이라는 문서를 통해서도 그것을 알수 있다 | ||
| - | * n = 4 일 때, $\sigam_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrace | + | * n = 4 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{2} = 7.5$ |
| - | * n = 36 일 때, $\sigam_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrace | + | * n = 36 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{6} = 2.5$ |
| - | * n = 100 일 때, $\sigam_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrace | + | * n = 100 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{10} = 1.5$ |
| - | * n = 400 일 때, $\sigam_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrace | + | * n = 400 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{20} = 0.75$ |
| - | * n = 900 일 때, $\sigam_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrace | + | * n = 900 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{30} = 0.5$ |
| * . . . | * . . . | ||
| - | * n = 2500 일 때, $\sigam_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrace | + | * n = 2500 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{50} = 0.3$ |
| - | * n = 3600 일 때, $\sigam_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrace | + | * n = 3600 일 때, $\sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac {15}{60} = 0.25$ |
| - | 그런데, 각 단계에서 $\sigam_{\overline{X}} $의 차이값은 | + | 그런데, 각 단계에서 $\sigma_{\overline{X}} $의 차이값은 |
| * n = 4, | * n = 4, | ||
| * n = 36, 7.5 - 2.5 = 5 | * n = 36, 7.5 - 2.5 = 5 | ||
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| * n = 3600, 0.3 - 0.25 = 0.05 | * n = 3600, 0.3 - 0.25 = 0.05 | ||
| - | 즉, 샘플의 숫자가 커질 수록 $\sigam_{\overline{X}} $ 의 단위는 작아지는데, | + | 즉, 샘플의 숫자가 커질 수록 $\sigma_{\overline{X}} $ 의 단위는 작아지는데, |
| 위의 이야기는 아래와 같이 정리할 수 있다. | 위의 이야기는 아래와 같이 정리할 수 있다. | ||
| Line 61: | Line 60: | ||
| * sample을 취하는 population이 normal distribution을 이룬다 | * sample을 취하는 population이 normal distribution을 이룬다 | ||
| - | __그 샘플분포의 평균은 모집단의 평균을 따른다__. | + | __그 샘플평균분포의 평균은 모집단의 평균을 따른다__. |
| * "mean of sample means은 population의 mean값과 같다" | * "mean of sample means은 population의 mean값과 같다" | ||
| * 위의 문장이 의미하는 것은 수 많은 샘플을 취했을 때, 그 샘플들의 평균은 실제 population의 평균값에 근사하게 된다는 것을 의미한다. (위의 이유에서, | * 위의 문장이 의미하는 것은 수 많은 샘플을 취했을 때, 그 샘플들의 평균은 실제 population의 평균값에 근사하게 된다는 것을 의미한다. (위의 이유에서, | ||
| * 이는 $E[\overline{X}] = \mu $ 라고 설명한 부분이다. | * 이는 $E[\overline{X}] = \mu $ 라고 설명한 부분이다. | ||
| - | __샘플평균 분포의 분산은__ $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ __을 갖는다__ | + | __샘플평균분포의 분산은__ $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ __을 따른다__ |
| standard deviation of the distribution of the sample mean를 (샘플평균들의 표준편차를) 특별히 | standard deviation of the distribution of the sample mean를 (샘플평균들의 표준편차를) 특별히 | ||
| - | standard error of $ \overline{X}$ 라고 (샘플평균의 표준오차)부르는데 그 값은 $ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$를 | + | standard error of $ \overline{X}$ 라고 (샘플평균의 표준오차)부르는데 그 값은 $ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$를 |
| [[Standard Error]] 또한 standard deviation 이므로 (즉, standard deviation of distribution of sample means), 각 샘플의 평균이 샘플들의 평균값(the mean of distribution of sample means)에서 얼마나 떨어져 있는 가를 나타내는 지표로 쓰인다. 다시 말하면, 이 특별한 standard deviation은 내가 샘플링을 했을 때, 그 __샘플의 평균값(the mean of an sample)이 모집단의 평균값(the mean of population)에서 얼마나 떨어져 있을 수 있는가__의 가능성(확율)을 나타내는 값이다. 즉, standard error = $ \sigma_{\overline{X}}$ = standard deviation distance between $ \overline{X}$ and $ \mu$ 라고 할 수 있다. 이 standard error 값에 영향을 주는 것은 두 가지가 있다. | [[Standard Error]] 또한 standard deviation 이므로 (즉, standard deviation of distribution of sample means), 각 샘플의 평균이 샘플들의 평균값(the mean of distribution of sample means)에서 얼마나 떨어져 있는 가를 나타내는 지표로 쓰인다. 다시 말하면, 이 특별한 standard deviation은 내가 샘플링을 했을 때, 그 __샘플의 평균값(the mean of an sample)이 모집단의 평균값(the mean of population)에서 얼마나 떨어져 있을 수 있는가__의 가능성(확율)을 나타내는 값이다. 즉, standard error = $ \sigma_{\overline{X}}$ = standard deviation distance between $ \overline{X}$ and $ \mu$ 라고 할 수 있다. 이 standard error 값에 영향을 주는 것은 두 가지가 있다. | ||
| Line 93: | Line 92: | ||
| \end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
| + | 즉, 이는 | ||
| + | $\overline{X} \sim \displaystyle \text{N} \left(\mu, \dfrac{\sigma^{2}}{n} \right)$ 를 말한다. | ||
| ===== e.g., ===== | ===== e.g., ===== | ||
| Central Limit Theorem이 사용되는 예를 들어보면 . . . . \\ | Central Limit Theorem이 사용되는 예를 들어보면 . . . . \\ | ||
central_limit_theorem.1587542357.txt.gz · Last modified: 2020/04/22 16:59 by hkimscil