estimated_standard_deviation
Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revisionNext revisionBoth sides next revision | ||
estimated_standard_deviation [2020/07/01 08:20] – hkimscil | estimated_standard_deviation [2020/11/05 18:23] – [수학적 증명] hkimscil | ||
---|---|---|---|
Line 5: | Line 5: | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \hat{\sigma^{2}} = \dfrac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}} {n} | + | \hat{\sigma}^{2} = \dfrac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}} {n} |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
Line 11: | Line 11: | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \hat{\sigma^{2}} = \frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}} {n} | + | \hat{\sigma}^{2} = \frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}} {n} |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \hat{\sigma^{2}} = \frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}} {n-1} | + | \hat{\sigma}^{2} = \frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}} {n-1} |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
Line 23: | Line 23: | ||
====== 직관적 이해 ====== | ====== 직관적 이해 ====== | ||
위에서 n-1 을 사용하기 위해서 추정하는 것은 | 위에서 n-1 을 사용하기 위해서 추정하는 것은 | ||
+ | |||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)} > \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}} | + | \sum_{i=1}^{n} {(X_{i}-\mu)} > \sum_{i=1}^{n} {(X_{i}-\overline{X})} |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
라는 점이다. 따라서 n 대신 n-1로 나눠주어서 " | 라는 점이다. 따라서 n 대신 n-1로 나눠주어서 " | ||
Line 228: | Line 230: | ||
====== 실험적, 수학적 이해 ====== | ====== 실험적, 수학적 이해 ====== | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
- | \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)} | + | \sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)} |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
를 수학적으로 이해하는 방법이다. 우선 실험을 통해서 원하는 것이 무엇인가를 설명한다. 우선 R에서 평균이 20인 (sd = 4) 모집단을 만든다. | 를 수학적으로 이해하는 방법이다. 우선 실험을 통해서 원하는 것이 무엇인가를 설명한다. 우선 R에서 평균이 20인 (sd = 4) 모집단을 만든다. | ||
Line 244: | Line 246: | ||
abline(v=mean.p, | abline(v=mean.p, | ||
</ | </ | ||
- | * 모집단에서 4개의 원소를 샘플로 | + | * 모집단에서 |
- | * 1부터 40까지의 집합을 만들어 range에 기록해두고 | + | * 1부터 40까지의 집합을 만들어 range에 기록해두고 |
- | * $\sum{(x-\overline{x})}$ 에서 $\overline(x)$ 대신 1:40 까지의 숫자를 넣어 결과를 구해본다. | + | * $\sum{(x-\overline{x})}$ 에서 $\overline(x)$ 대신 1:40 까지의 숫자를 넣어 결과를 구해본다. 즉, SS파트를 구해보는데 샘플의 평균인 23외에 1에서 40까지의 숫자를 대입하여 SS값을 구하여 기록한다는 뜻이다. |
* 이를 plot한다. | * 이를 plot한다. | ||
Line 431: | Line 433: | ||
위의 식에서 일부만을 추출해서 먼저 보자. | 위의 식에서 일부만을 추출해서 먼저 보자. | ||
+ | ====== temp ====== | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = & E \left[\sum(X_{i}^{2}- 2 X_{i} \overline{X} + \overline{X}^{2})\right] \\ | E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = & E \left[\sum(X_{i}^{2}- 2 X_{i} \overline{X} + \overline{X}^{2})\right] \\ | ||
- | & = & E \left[\sum{X_{i}^{2}} - \sum{2X_{i}\overline{X} + \sum{\overline{X}^{2}} \right] | + | & = & E \left[ \sum{X_{i}^2} - \sum {2X_{i} \overline{X} + \sum {\overline{X^2}} |
- | & = & E \left[\sum{X_{i}^{2}} - 2\overline{X}\sum{X_{i} + n{\overline{X}^{2}} \right] \\ | + | |
- | & = & E \left[\sum{X_{i}^{2}} - 2\overline{X}\cdot n \overline{X} + n{\overline{X}^{2}} \right] \\ | + | |
- | & = & E \left[\sum{X_{i}^{2}} - n{\overline{X}^{2}} \right] \\ | + | |
- | & = & \sum{E(X_{i}^{2})} - E(n\overline{X}^{2}) | + | |
- | & = & \sum{E(X_{i}^{2})} - n E(\overline{X}^{2}) | + | |
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
한 편, 위의 (1), (2)에서 | 한 편, 위의 (1), (2)에서 | ||
+ | & = & E \left[ \sum{X_{i}^2} - \sum {2X_{i} \overline{X} + \sum {\overline{X^2}} | ||
+ | & = & E \left[\sum{X_{i}^{2}} - 2 \overline{X}\sum{X_{i} + n{\overline{X}^{2}} \right] \\ | ||
+ | & = & E \left[\sum{X_{i}^{2}} - 2 \overline{X}\cdot n \overline{X} + n{\overline{X}^{2}} \right] \\ | ||
+ | & = & E \left[\sum{X_{i}^{2}} - n {\overline{X}^{2}} \right] \\ | ||
+ | & = & \sum{E(X_{i}^{2})} - E(n\overline{X}^{2}) | ||
+ | & = & \sum{E(X_{i}^{2})} - n E(\overline{X}^{2}) | ||
+ | |||
estimated_standard_deviation.txt · Last modified: 2023/09/13 11:00 by hkimscil