estimated_standard_deviation
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Line 391: | Line 391: | ||
이므로 | 이므로 | ||
- | \begin{align*} | + | \begin{align} |
E\left[X^2\right] & = Var\left[X\right] + \mu^2 \nonumber \\ | E\left[X^2\right] & = Var\left[X\right] + \mu^2 \nonumber \\ | ||
& = \sigma^{2} + \mu^2 \\ | & = \sigma^{2} + \mu^2 \\ | ||
- | \end{align*} | + | \end{align} |
마찬가지로 | 마찬가지로 | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
Var \left[ \overline{X}\right] & = E \left[\overline{X}^2 \right] - \left[E(\overline{X})\right]^2 \nonumber \\ | Var \left[ \overline{X}\right] & = E \left[\overline{X}^2 \right] - \left[E(\overline{X})\right]^2 \nonumber \\ | ||
- | & = E\left[\overline{X}^{2}\right] - \mu^{2} | + | & = E\left[\overline{X}^{2}\right] - \mu^{2} |
\end{align} | \end{align} | ||
Line 425: | Line 425: | ||
---- | ---- | ||
우리가 알고자 하는 것은 아래의 식이 population의 parameter인 $\sigma^{2}$ 의 값과 같은가이다. | 우리가 알고자 하는 것은 아래의 식이 population의 parameter인 $\sigma^{2}$ 의 값과 같은가이다. | ||
- | \begin{eqnarray*} | + | \begin{align*} |
- | E[s^{2}] & = & E \left[\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{n-1} \right] \dots\dots\dots (a) \\ | + | E[s^{2}] & = E \left[\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{n-1} \right] \qquad |
- | & = & \sigma^{2} | + | \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot |
- | \end{eqnarray*} | + | & = \sigma^{2} |
+ | \end{align*} | ||
위의 식에서 일부만을 추출해서 먼저 보자. | 위의 식에서 일부만을 추출해서 먼저 보자. | ||
- | \begin{eqnarray*} | ||
- | E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = & E \left[\sum(X_{i}^{2}- 2 X_{i} \overline{X} + \overline{X}^{2})\right] \\ | ||
- | & = & E \left[ \sum{X_{i}^2} - \sum{2X_{i} \overline{X}} + \sum {\overline{X^2}} | ||
- | & = & E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \sum{X_{i}} + \sum{\overline{X^2}} | ||
- | & = & E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \sum{X_{i}} + n \overline{X^2} \right] | ||
- | & = & E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \cdot (n \overline{X}) + n \overline {X^2} \right] \\ | ||
- | & = & E \left[ \sum{X_{i}^2} - n \overline{X}^2 \right] \\ | ||
- | & = & \sum {E(X_{i}^2)} - E(n\overline{X}^2) | ||
- | & = & \sum {E(X_{i}^2)} - n E(\overline{X}^2) | ||
- | \end{eqnarray*} | ||
- | 한 편, 위의 | + | \begin{align*} |
+ | E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = E \left[\sum(X_{i}^{2}- 2 X_{i} \overline{X} + \overline{X}^{2})\right] \\ | ||
+ | & = E \left[ \sum{X_{i}^2} - \sum{2X_{i} \overline{X}} + \sum {\overline{X^2}} | ||
+ | & = E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \sum{X_{i}} + \sum{\overline{X^2}} | ||
+ | & = E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \sum{X_{i}} + n \overline{X^2} \right] | ||
+ | & = E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \cdot (n \overline{X}) + n \overline {X^2} \right] \\ | ||
+ | & = E \left[ \sum{X_{i}^2} - n \overline{X}^2 \right] \\ | ||
+ | & = \sum {E\left(X_{i}^2\right)} - E\left(n\overline{X}^2\right) | ||
+ | & = \sum {E\left(X_{i}^2\right)} - n E\left(\overline{X}^2\right) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 한 편, 위의 $(1), (2)$에서 | ||
<WRAP box> | <WRAP box> | ||
- | \begin{eqnarray*} | + | \begin{align*} |
- | E[X_{i}^{2}] & = & \sigma^{2} + \mu^2 \;\;\; \dots\dots\dots\dots\dots (1) \\ | + | E\left[X_{i}^{2}\right] & = \sigma^{2} + \mu^2 \;\;\; \dots\dots\dots\dots\dots (1) \\ |
- | E[\overline{X}^{2}] & = & \dfrac {\sigma^{2}} {n} + \mu^{2} \;\;\; \dots\dots\dots\dots\dots (2) | + | E\left[\overline{X}^{2}\right] & = \dfrac {\sigma^{2}} {n} + \mu^{2} \;\;\; \dots\dots\dots\dots\dots (2) |
- | \end{eqnarray*} | + | \end{align*} |
</ | </ | ||
- | 위의 (1), (2)를 (3)에 대입해보면 | + | 위의 |
- | \begin{eqnarray*} | + | \begin{align*} |
- | E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = & \sum{E(X_{i}^{2})} - n E(\overline{X}^{2}) | + | E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = \sum{E\left(X_{i}^{2}\right)} - n E\left(\overline{X}^{2}\right) \\ |
- | & = & \sum{(\sigma^{2} + \mu^{2})} - n (\dfrac{\sigma^2}{n} + \mu^2) \\ | + | & = \sum{\left(\sigma^{2} + \mu^{2}\right)} - n \left(\dfrac{\sigma^2}{n} + \mu^2\right) \\ |
- | & = & n\sigma^{2} + n\mu^{2} - \sigma^{2} - n\mu^{2} \\ | + | & = n\sigma^{2} + n\mu^{2} - \sigma^{2} - n\mu^{2} \\ |
- | & = & (n-1) \sigma^{2} | + | & = \left(n-1\right) \sigma^{2} |
- | \end{eqnarray*} | + | \end{align*} |
위는 식 (a)의 일부이므로 이를 온전한 식에 대입해보면, | 위는 식 (a)의 일부이므로 이를 온전한 식에 대입해보면, | ||
Line 478: | Line 479: | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
+ | |||
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만약에 우리가 population의 variance를 구하듯이 n을 이용한다고 하면, | 만약에 우리가 population의 variance를 구하듯이 n을 이용한다고 하면, | ||
Line 488: | Line 491: | ||
즉, 원래 $\sigma^2$ 값보다 조금 작은 값을 갖게 될 것이다 (이를 biased result라고 한다). | 즉, 원래 $\sigma^2$ 값보다 조금 작은 값을 갖게 될 것이다 (이를 biased result라고 한다). | ||
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estimated_standard_deviation.txt · Last modified: 2023/09/13 11:00 by hkimscil