http://www.qc.edu.hk/math/Advanced%20Level/Standard_deviation.htm

우선, Expected value (기대값)와 Variance (분산)의 연산은 아래와 같이 계산될 수 있다.

이때, 한 샘플의 평균값을 $X$ 라고 하면, 평균들의 합인 $S_k$ 는

$$ S_{k} = X_1 + X_2 + . . . + X_k $$

와 같다.

이렇게 얻은 샘플들(k 개의)의 평균인 $A_k$ 는,

$$A_k = \displaystyle \frac{(X_1 + X_2 + . . . + X_k)}{k} = \frac{S_{k}}{k} $$

라고 할 수 있다.

이때,

$$ \begin{align*} E[S_k] & = E[X_1 + X_2 + . . . +X_k] \\ & = E[X_1] + E[X_2] + . . . + E[X_k] \\ & = \mu + \mu + . . . + \mu = k * \mu \\ \end{align*}
$$ $$
\begin{align*} Var[S_k] & = Var[X_1 + X_2 + . . . +X_k] \\ & = Var[X_1] + Var[X_2] + \dots + Var[X_k] \\ & = k * \sigma^2 \end{align*}
$$ 이다. 그렇다면, $A_k$ 에 관한 기대값과 분산값은:

$$ \begin{align*} E[A_k] & = E[\frac{S_k}{k}] \\ & = \frac{1}{k}*E[S_k] \\ & = \frac{1}{k}*k*\mu = \mu \end{align*}
$$ 이고, $$
\begin{align*} Var[A_k] & = Var[\frac{S_k}{k}] \\ & = \frac{1}{k^2} Var[S_k] \\ & = \frac{1}{k^2}*k*\sigma^2 \\ & = \frac{\sigma^2}{k} \nonumber \end{align*}
$$ 라고 할 수 있다. 한편, 분산값은 $$
\begin{align*} Var[X] & = {E{(X-\mu)^2}} \\ & = E[(X^2 - 2 X \mu + \mu^2)] \\ & = E[X^2] - 2 \mu E[X] + E[\mu^2] \\ & = E[X^2] - 2 \mu E[X] + E[\mu^2], \;\; \text{because E[X]=} \mu \text{, \; E[} \mu^2 \text{] = } \mu^2, \\ & = E[X^2] - 2 \mu^2 + \mu^2 \\ & = E[X^2] - \mu^2 \;\;\; \dots \dots \dots \dots \dots [1] \end{align*}
$$ 라고 할때, $ Var[X + Y] $ 를 구하고자 한다면, 우선

$$ \begin{align} \displaystyle E[X] = \mu_{X} = a \\ \displaystyle E[Y] = \mu_{Y} = b \end{align}
$$ 이라고 할 때, $$
\begin{align*} Var [X + Y] & = \displaystyle E[(X+Y)^2] - (a+b)^2 \\ & = E[(X^2 + 2XY + Y^2)] - (a^2 + 2ab - b^2) \;\cdots\;\cdots\; \cdots\; [a] \end{align*}
$$ 그런데 $ E[XY] = E[X] E[Y], $ , $X$ 와 $Y$ 가 서로 독립적 (independent) 이므로
$$ E[XY] = a b $$

이에 따라 위의 $ [a] $ 에서,

$$ \begin{align*} Var [X + Y] & = E[(X^2 + 2XY + Y^2)] - (a^2 - 2ab - b^2) \\ & = E[X^2] - a^2 + E[Y^2] - b^2 \\ & = Var[X] + Var[Y] \end{align*}
$$ 한편, $$
\begin{align*} \overline{X} & = \frac { \displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i)} {n} \\ s_{\overline{X}} & = \frac {\displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2} {n-1} \end{align*}
$$ 그리고 Sampling distribution of mean과 관련된 샘플 평균들에 대한 기대값 $E[\overline{X}]$ 과 $Var[\overline{X}]$ 는 각각

$$ \begin{align*} E[\overline{X}] & = E[\frac{1}{n} \sum_{\tiny{i=1}}^{\tiny{n}} \overline{X_i}] \\ & = \frac{1}{n} n \mu \\ & = \mu \;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots \;[2] \\ Var[\overline{X}] & = Var[\frac{1}{n} \sum_{\tiny{i=1}}^{\tiny{n}} \overline{X_i}] \\ & = \frac{1}{n^2} n \sigma^2 \\ & = \frac{\sigma^2}{n} \;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots \;[3] \end{align*}
$$ 같은 논리로 sampling distribution of sample variance를 구한다고 하면, 그리고 이를 구할 때 n을 사용한다고 하면, $$
\begin{align*} E[s^2] & = E \left [ \frac{1}{\large n} \sum_{i=1}^n (X_i- \overline{X})^2 \right ] \\ & = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 2\overline{X}X_i + \overline{X}^2) \right ] \\ & = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 - \sum_{i=1}^n 2\overline{X}X_i + \sum_{i=1}^n \overline{X}^2 \right ] \\ & = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 - 2n\overline{X}^2 +n\overline{X}^2 \right ] \\ & = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2 \right ] \\ & = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right ] - E \left [ \overline{X}^2 \right ] \;\cdots\;\cdots\; [4] \end{align*}
$$ 위에서 $$
\begin{align*} \sum 2 X_i \overline{X} & = 2 \sum X_i \overline{X} \\ & = 2 n \overline{X} * \overline{X} \;\; \text {because} \;\; \overline{X} = \frac {\sum X_i} {n} \;\;\\ & = 2 n \overline{X}^2 \end{align*}
$$ 여기서 [1]에서의 결과를 적용하면, $$ E \left [ \displaystyle \sum_{i=1}^n X_i^2 \right ] = Var[X_i] + \mu = \sigma^2 + \mu$$ $$ E \left [ \displaystyle \overline{X}^2 \right ] = Var \left [\overline{X} \right ] + \mu = \frac{\sigma^2}{n} + \mu $$ 이므로 [4]의 식은 $$
\begin{align*} E[s^2] & = \frac{1}{n} (\sigma^2+\mu) - ( \frac{\sigma^2}{n} + \mu) \\ & = \frac{1}{n} \left [n(\sigma^2+\mu) - n(\frac{\sigma^2}{n} + \mu) \right ] \\ & = \frac{1}{n} \left [n \sigma^2 - \sigma^2 \right ] \\ & = \frac{(n-1)\sigma^2}{n} \;\cdots\;\cdots\;\cdots\; [5] \end{align*}
$$

즉 sample에서 구하는 variance로 모집단의 variance를 구하는데 오차가 보인다. 이를 모집단의 variance와 근사하게 하기 위해서

$ \displaystyle \frac{n}{n-1} $

을 [5]에 곱하면,

$ E[S^2] = \displaystyle \frac{(n-1)\sigma^2}{n} * \frac{n}{n-1} = \sigma^2 $