geometric_sequences_and_sums
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| geometric_sequences_and_sums [2020/11/21 23:21] – [Proof] hkimscil | geometric_sequences_and_sums [2021/10/22 14:24] – [with Infinite Series (n이 무한대일 때)] hkimscil | ||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | ====== Geometric Sequences and Sums ====== | + | ====== Geometric Sequences and Sums 기하수열과 합 (그리고 합의 증명) |
| ====== Sequence ====== | ====== Sequence ====== | ||
| Line 43: | Line 43: | ||
| $ \{12, 6, 3, 1.5, 0.75, . . . \}$ 에서의 계산 방법은 | $ \{12, 6, 3, 1.5, 0.75, . . . \}$ 에서의 계산 방법은 | ||
| $ X_{n} = 12 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ 이다. | $ X_{n} = 12 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ 이다. | ||
| + | |||
| + | 위에서 n이 무한대로 간다고 가정하면 이 때의 $X_{n} = 0$ 이 될 것이다. 즉, | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | X_{n} & = & ar^{(n-1)} \\ | ||
| + | & & \text{where | ||
| + | & & \text{ | ||
| + | r^{(n-1)} & = & 0 \\ | ||
| + | \therefore \text{ | ||
| + | \therefore \text{ | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| ====== Sums of Geometric Series ====== | ====== Sums of Geometric Series ====== | ||
| Line 57: | Line 67: | ||
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
| - | \sum_{k=0}^{n-1}(ak^{k}) & = & a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right) | + | \sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) & = & a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right) |
| & = & \sum_{k=0}^{4-1}(10 \cdot 2^{k}) | & = & \sum_{k=0}^{4-1}(10 \cdot 2^{k}) | ||
| & = & 10 \left(\frac{1-2^4}{1-2}\right) \\ | & = & 10 \left(\frac{1-2^4}{1-2}\right) \\ | ||
| Line 70: | Line 80: | ||
| 위의 식에 각 r을 곱한다면 | 위의 식에 각 r을 곱한다면 | ||
| - | \begin{flalign} | + | \begin{eqnarray} |
| S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} | S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} | ||
| S\cdot r & = & \qquad ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} + ar^{(n)} | S\cdot r & = & \qquad ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} + ar^{(n)} | ||
| - | \end{flalign} | + | \end{eqnarray} |
| 위에서 아래를 빼면 | 위에서 아래를 빼면 | ||
| - | \begin{eqnarray} | + | \begin{eqnarray*} |
| S-S\cdot r & = & a - ar^{n} \\ | S-S\cdot r & = & a - ar^{n} \\ | ||
| (1-r) \cdot S & = & a - ar^{n} \\ | (1-r) \cdot S & = & a - ar^{n} \\ | ||
| Line 82: | Line 92: | ||
| & = & \frac {a (1 - r^{n})}{1-r} \\ | & = & \frac {a (1 - r^{n})}{1-r} \\ | ||
| & = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\ | & = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\ | ||
| - | \end{eqnarray} | + | \end{eqnarray*} |
| - | ====== with Infinite Series ====== | + | ====== with Infinite Series |
| - | n 이 무한히 간다고 하고, r 이 -1 과 1 사이의 숫자라고 할 때 (여기서 -1, 0, 1은 포함하지 않는다. diminishing geometric series): | + | n이 무한히 간다고 하고, r 이 -1 과 1 사이의 숫자라고 할 때 (여기서 -1, 0, 1은 포함하지 않는다. diminishing geometric series): |
| - | \begin{eqnarray} | + | \begin{eqnarray*} |
| - | \sum_{k=0}^{\infty}(ar^k) = a\left(\frac{1}{1-r}\right) | + | \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\ |
| - | \end{eqnarray} | + | & & \text{when } \\ |
| + | & & n -> \infty, |r| < 1, r \ne 0 \\ | ||
| + | r^{n} & = & 0 \\ | ||
| + | \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \left(\frac{1}{1-r}\right) | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
geometric_sequences_and_sums.txt · Last modified: 2021/10/22 14:25 by hkimscil