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====== Geometric Sequences and Sums 기하수열과 합 (그리고 합의 증명) ======
====== Sequence ======
 
숫자가 (대개는 숫자를 칭한다) 규칙을 가지고 연속적으로 배치되어 있는 집합을 말한다. 
$ 3, 5, 7, 9, . . .  $ 는 2씩 증가하는 규칙을 가진 sequence이다. 이는 
| 3  | 1st term  |
| 5  | 2nd term  |
| 7  | 3rd term  |
| 9  | 4th term  |
| . . .  | . . . .   |

뒤의 $. . .$ 는 이런 배열이 무한히 계속됨을 말한다. 

====== Geometric Sequence ======
Geometric Sequence란 숫자의 sequence에서 뒤의 숫자가 앞의 숫자에 특정한 상수를 곱하여 구해지는 sequence를 말한다. 
예를 들면 1, 2, 4, 8, 16, . . . 에서 뒤의 숫자는 앞의 숫자에 2를 곱해서 구할 수 있는 숫자이다. 일반적으로 우리는 Geometric Sequence는 아래처럼 일반화시켜서 적는다. 
$$ \{ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, . . . \}  $$
  * a 는 첫번째 숫자(term)을 말한다.
  * r 은 각 term의 (숫자) 요인이다 (공통요인, common ratio)

위에서 
  * a = 1  (첫번째 숫자)
  * r = 2  (두 숫자 간의 common ratio)

\begin{eqnarray*}
\{a, ar, ar^2, ar^3, . . . \}  & = & \{1, 1 \text{x} 2^1, 1 \text{x} 2^2, 1 \text{x} 2^3, . . .  \}  \\
& = & \{1, 2, 4, 8, . . . \} \\ 
\text{where r should not be 0.}
\end{eqnarray*}

몇 번째 숫자는 어떤 가치를 가질까?는 아래와 같이 구한다.
$$ X_{n} = ar^{(n-1)} $$

예를 들면 아래의 sequence가 있다고 할때, 
5, 20, 80, 320, . . . 

  * a = 5
  * r = 4 
  * 4번째 숫자는 $5 \cdot 4^{4-1} = 320 $
  * 10번째 숫자는 $5 \cdot 4^{9} = 5 \cdot 262144 = 1310720 $

r 이 -1 에서 1 사이의 값을 가질 때는 geometric sequence는 점점 작아진다. 예를 들면 
$ \{12, 6, 3, 1.5, 0.75, . . . \}$ 에서의 계산 방법은 
$ X_{n} = 12 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ 이다. 

위에서 n이 무한대로 간다고 가정하면 이 때의 $X_{n} = 0$ 이 될 것이다. 즉, 
\begin{eqnarray*}
X_{n} & = & ar^{(n-1)} \\
& & \text{where  } -1 < r < +1 \\
& & \text{  and  } n -> \infty \\ 
r^{(n-1)} & = & 0 \\
\therefore \text{  } ar^{(n-1)} & = & 0 \\ 
\therefore \text{  } X_{n} & = & 0 \\
\end{eqnarray*}

====== Sums of Geometric Series ======
Sequence의 숫자를 모두 더한다는 것은 아래를 뜻한다. 
$$ \large a + ar + ar^2 + . . . + ar^{(n-1)} $$

이를 일반화하면 아래와 같다.
$$ \sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) = a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right)$$ 

예를 들면 

$$ \{ 10, 20, 40, 80, 160, . . .  \}$$ 
에서 처음 4개의 숫자를 더한 가치를 구해본다고 하면, 

\begin{eqnarray*}
\sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) & = & a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right)  \\
& = &  \sum_{k=0}^{4-1}(10 \cdot 2^{k})  \\
& = &  10 \left(\frac{1-2^4}{1-2}\right) \\
& = &  150
\end{eqnarray*}

====== Proof ======
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) = S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)}   \\
\end{eqnarray*}

위의 식에 각 r을 곱한다면 

\begin{eqnarray}
S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)}   \\
S\cdot r & = &  \qquad ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} + ar^{(n)}  \\
\end{eqnarray}

위에서 아래를 빼면
\begin{eqnarray*}
S-S\cdot r  & = &  a - ar^{n} \\
(1-r) \cdot S & = &  a - ar^{n} \\
S & = & \frac {a - ar^{n}}{1-r} \\
& = & \frac {a (1 - r^{n})}{1-r} \\
& = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\
\end{eqnarray*}

====== with Infinite Series (n이 무한대일 때) ======
n이 무한히 간다고 하고, r 이 -1 과 1 사이의 숫자라고 할 때 (여기서 -1, 0, 1은 포함하지 않는다. diminishing geometric series):
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\
& & \text{when } \\ 
& & n -> \infty, |r| < 1, r \ne 0  \\
& & r^{n} = 0 \\
\therefore \; \; \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \left(\frac{1}{1-r}\right)
\end{eqnarray*}