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--- geometric_sequences_and_sums [2020/11/04 22:33] – [Proof] hkimscil
+++ geometric_sequences_and_sums [2021/10/22 14:25] (current) – [with Infinite Series (n이 무한대일 때)] hkimscil
@@ Line 1: / Line 1: @@
-====== Geometric Sequences and Sums ======
+====== Geometric Sequences and Sums 기하수열과 합 (그리고 합의 증명) ======
 ====== Sequence ======
@@ Line 43: / Line 43: @@
 $ \{12, 6, 3, 1.5, 0.75, . . . \}$ 에서의 계산 방법은
 $ X_{n} = 12 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ 이다.
+위에서 n이 무한대로 간다고 가정하면 이 때의 $X_{n} = 0$ 이 될 것이다. 즉,
+\begin{eqnarray*}
+X_{n} & = & ar^{(n-1)} \\
+& & \text{where  } -1 < r < +1 \\
+& & \text{  and  } n -> \infty \\
+r^{(n-1)} & = & 0 \\
+\therefore \text{  } ar^{(n-1)} & = & 0 \\
+\therefore \text{  } X_{n} & = & 0 \\
+\end{eqnarray*}
 ====== Sums of Geometric Series ======
@@ Line 57: / Line 67: @@
 \begin{eqnarray*}
-\sum_{k=0}^{n-1}(ak^{k}) & = & a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right)  \\
+\sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) & = & a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right)  \\
 & = &  \sum_{k=0}^{4-1}(10 \cdot 2^{k})  \\
 & = &  10 \left(\frac{1-2^4}{1-2}\right) \\
@@ Line 67: / Line 77: @@
 \sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) = S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)}   \\
 \end{eqnarray*}
 위의 식에 각 r을 곱한다면
 \begin{eqnarray}
 S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)}   \\
-- S\cdot r & = &  \qquad ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} + ar^{(n)}  \\
+S\cdot r & = &  \qquad ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} + ar^{(n)}  \\
-S-S\cdot r  & = &  a + ar^{n} \\
-(1-r) \cdot S & = &  a + ar^{n} \\
-S & = & \frac {a + ar^{n}}{1-r} \\
-& = & \frac {a (1+ r^{n})}{1-r} \\
-& = & a \cdot \frac {(1+ r^{n})}{1-r} \\
 \end{eqnarray}
-====== with Infinite Series ======
+위에서 아래를 빼면
-n 이 무한히 간다고 하고, r 이 -1 과 1 사이의 숫자라고 할 때 (여기서 -1, 0, 1은 포함하지 않는다. diminishing geometric series):
+\begin{eqnarray*}
-\begin{eqnarray}
+S-S\cdot r  & = &  a - ar^{n} \\
-\sum_{k=0}^{\infty}(ar^k) = a\left(\frac{1}{1-r}\right)
+(1-r) \cdot S & = &  a - ar^{n} \\
-\end{eqnarray}
+S & = & \frac {a - ar^{n}}{1-r} \\
+& = & \frac {a (1 - r^{n})}{1-r} \\
+& = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\
+\end{eqnarray*}
+====== with Infinite Series (n이 무한대일 때) ======
+n이 무한히 간다고 하고, r 이 -1 과 1 사이의 숫자라고 할 때 (여기서 -1, 0, 1은 포함하지 않는다. diminishing geometric series):
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\
+& & \text{when } \\
+& & n -> \infty, |r| < 1, r \ne 0  \\
+& & r^{n} = 0 \\
+\therefore \; \; \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \left(\frac{1}{1-r}\right)
+\end{eqnarray*}