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--- hypothesis_testing [2020/05/07 00:37] – hkimscil
+++ hypothesis_testing [2023/11/27 07:25] (current) – [가설검증] hkimscil
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 연구자는 wiki를 사용하여 한 학기의 수업을 한 후에 같은 종류의 테스트를 wiki사용자들에게 하여, 이들의 평균이 wiki를 사용하지 않는 평범한 학생들의 성적과 차이가 있음을 밝힌다면, 가설검증이 성공된다.
-{{anchor:null_hypothesis}} 이를 위해서 흔히 연구자는 **null hypothesis**를 세우게 되는데, 이것은 아래와 같이 나타낸다.
+<wrap #null_hypothesis /> 이를 위해서 흔히 연구자는 **null hypothesis**를 세우게 되는데, 이것은 아래와 같이 나타낸다.
-$\displaystyle  \text{H(0): } \mu_{\text{student with wiki}} = 50 $
+$\displaystyle  \text{H(0): } \overline{X}_{\text{student with wiki}} = \mu \;\;\; \text{where } \mu = 50 $
 즉, $ \text{H(0):} $ 는 wiki의 사용에도 불구하고 학생들의 성적이 일반 성적인 50점에 머문다는 것을 선언하는 것이다. 다시 말하면, $ \text{H(0):} $ 는 변화가 없음, 차이가 없음, 관계가 없음을 나타내는 선언문이다. 이를 풀어서 말하자면, wiki라는 independent variable(teatment)가 학생들의 실력(dependent variable)에 아무 효과가 없다(no effects)는 것을 나타낸다.
+위의 영가설은 정확한 의미에서 내 샘플이 50점 모집단에서 나오지 않았다는, 즉 모집단에 속한 샘플이 아니라 다른 집단에 (존재하지는 않지만 위키를 사용해서 성적이 다른 모집단) 속한다는 뜻이다.
+$\displaystyle  \text{H(0): } \overline{X}_{\text{student with wiki}} \subseteq \mu \;\;\; \text{where } \mu = 50 $
 alternative hypothesis 혹은 research hypothesis는 위의 $ \text{H(0):} $ 를 반대로 선언하는 것을 말한다. 위의 예를 계속 사용하자면,
-$\text{H(1): } \mu_{\text{student with wiki}} \neq 50 $
+$\text{H(1): } \overline{X}_{\text{student with wiki}} \neq \mu $
+$\text{H(1): } \overline{X}_{\text{student with wiki}} \not\subseteq \mu  $
 라고 선언하는 것을 말한다. 위의 선언문은 treatment인 wiki가 효과가 있다는 것을 의미한다. 단, 이 선언에서 주의해서 봐야 할 점은 wiki가 점수를 올리거나 내린다는 선언을 한 것은 아니라는 점이다. 단지 일반 population과 다를 것이라는 점만을 선언하였다 ((만약에 연구자가 wiki의 사용이 학생들의 성적을 올릴 것을 확신한다면, $\text{H(1)}$ 는 다음과 같이 같이 바뀌어야 한다. $\text{H(1): } \mu_{\text{student with wiki}} > 50 $ 이런 종류의 research hypothesis 를 directional hypothesis라고 한다. 당분간은 이와 같은 directional hypothesis는 다루지 않겠다.))
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   * 그런데, 이 특정한 샘플의 평균은 60점이다. 이 점수가 의미하는 것은 두 가지이다.
     * 첫 째는 100중 95는 샘플의 평균이 45에서 55에서 나와야 하는데, 이 번 샘플은 이 확률에 걸리지 않은 특이한 케이스이다. 즉, 나머지 5%의 확률에 걸려 60점이라는 점수가 나왔다. 이는 위키의 효과가 없었음을 가정하고, 그럼에도 불구하고, 특이하게 높은 점수가 나왔다고 주장하는 것이 된다. 그러나, 이 주장의 확률은 5%에 불과하다.
-    * 다른 하나는, 이 위키 샘플이 평범한 학생의 샘플이 아니다. 즉, N(50, 10)의 모집단에서 추출되는 그런 샘플이 아닌, 특별한 샘플이기에 학생들의 평균이 높은 것이다. 이를 알기 쉽게 이야기하면 오른 쪽 빨간 집단에 속하는 학생이기에 그런 점수가 나온 것이다. 이것이 의미하는 것은 위키를 이용한 학생은 평범한 모집단에 속하지 않는다는 것을 말하는데, 이는 곧 위키의 효과가 있다는 것을 주장하는 것이 된다. 그런데, 이 주장이 맞을 확률이 이 전과 같이 5%가 아닌, 95%이다. 따라서, 후자를 택하는 것이 더 안전한 결론이 된다. 이는 곧 영가설을 부정하고 (위키가 효과가 없다는 것), 연구가설을 채택하는 것이 된다. **이로써 우리는 연구가설을 검증한 것이 된다**.
+    * 다른 하나는, 이 위키 샘플이 평범한 학생의 샘플이 아니다. 즉, $\overline{X} \sim N(50, 100)$의 모집단에서 추출되는 그런 샘플이 아닌, 특별한 샘플이기에 학생들의 평균이 높은 것이다. 이를 알기 쉽게 이야기하면 오른 쪽 빨간 집단에 속하는 학생이기에 그런 점수가 나온 것이다. 이것이 의미하는 것은 위키를 이용한 학생은 평범한 모집단에 속하지 않는다는 것을 말하는데, 이는 곧 위키의 효과가 있다는 것을 주장하는 것이 된다. 그런데, 이 주장이 맞을 확률이 이 전과 같이 5%가 아닌, 95%이다. 따라서, 후자를 택하는 것이 더 안전한 결론이 된다. 이는 곧 영가설을 부정하고 (위키가 효과가 없다는 것), 연구가설을 채택하는 것이 된다. **이로써 우리는 연구가설을 검증한 것이 된다**.
+    * 그리고 위에서 구한 $45 ~ 55$의 구간을 우리는 confidence interval이라고 부르며
+    * standard error 두 단위를 쓴 95%를 confidence level 이라고 부른다.
+    * 반면에 5%의 error 가능성을 type I error 혹은 probability level이라고 (줄여서 p-level 혹은 p-value) 부른다.
+위에서 언급한 두개의 standard error를 사용하여 confidence interval을 구하는 것을 책에서는
+$ a = 2 (1.96)$
+$ a = 3 (2.58)$
+$$ \overline{X} \pm a * \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
+$$ \overline{X} \pm a * \frac{s}{\sqrt{n}} $$
 ====== z test ======