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--- mean_and_variance_of_geometric_distribution [2021/10/14 23:28] – [Mean] hkimscil
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 ====== Mean and Variance of Geometric Distribution ======
 ====== Mean ======
-기대값 E(X) 는 아래처럼 구할 수 있다.
+기대값 E(X)는 아래처럼 배웠고.
+\begin{align}
+E(X) & = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X=k) \nonumber \\
+\end{align}
+$P(X=k) $가 geometric distiribution에서는 $q^{(k-1)} \cdot p  $ 이므로 $E(X)$는 아래와 같다.
 \begin{align}
 E(X) & = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{(k-1)} \cdot p \nonumber \\
-E(X) & = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1-p)^{(k-1)} \cdot p \nonumber \\
+E(X) & = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1-p)^{(k-1)} \cdot p \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \because  q = (1-p)  \nonumber \\
 & = p \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{(k-1)} \nonumber \\
 E(X)      & = p \left[1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 + 4(1-p)^4 +  . . . \right] \\
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 \begin{align}
 \sum_{k=0}^{\infty}(ar^k)
-& = a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} \nonumber  \\
+& = a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} + \cdots \nonumber  \\
+& = a \left[ 1 + r + r^2 + r^3 + . . . + r^{(n-2)} + r^{(n-1)} + \cdots \right] \\
 & = a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\
 & = a\left(\frac{1}{1-r}\right)
 \end{align}
-위 $(3)$에서 r의 절대값이 1보다 작고, n이 무한이라고 할 때 이는 $(4)$와 같다.
+위 $(4)$에서 r의 절대값이 1보다 작고, n이 무한이라고 할 때 이는 $(5)$와 같다.
-따라서 아래는 $a = p$ 이고 $r = (1-p)$ 인 경우이다 (밑줄 부분). 그리고 p 는 -1 과 1사이에 있다는 것을 안다 (확률분포이므로)
+위의 식 $(1)$에서 $(2)$를 뺀 후 살펴보면 이는 위의 $(3)$과 같은 형식이다. 따라서 이 식은 (아래) $a = p$ 이고 $r = (1-p)$ 인 경우이다 (밑줄 부분). 그리고 p 는 -1 과 1사이에 있다는 것을 (분수라는 것을) 안다 (확률분포이므로)
-위의 식 $(1)$에서 $(2)$를 빼면
 \begin{align*}
 (1-(1-p))E(X) & = \underline{p} \left[1 + \underline{(1-p)} + \underline{(1-p)^2} + \underline{(1-p)^3} + \underline{(1-p)^4} + . . . \right] \\
 & = \sum_{k=0}^{\infty} \left(p \cdot (1-p)^{k} \right) \\
-(1-(1-p))E(X) & = p \frac {1}{1-(1-p)} \\
+(1-(1-p))E(X) & = p \frac {1 - (1-p)^k} {1-(1-p)}, \;\;\; \text{because  } {(1-p)^k \rightarrow 0} \\
+& = p \frac {1}{1-(1-p)} \\
 p \cdot E(X) & = 1 \\
 \therefore \quad E(X) & = \frac {1}{p} \\
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 ====== Variance ======
+For (1), see
+[[Expected value and variance properties#mjx-eqn-var.theorem.1|Variance Theorem 1]] in [[Expected value and variance properties]]
 \begin{align}
 Var(X) & = E((X-E(X))^{2}) \nonumber \\
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 \end{align}
-위에서 $ (6) - (7) = $ 은
+위에서 $ (7) - (8) = $ 은
 \begin{align}
@@ Line 85: / Line 94: @@
 \end{eqnarray*}
-따라서 $(5)$ 는
+따라서 $(9)$ 는
 \begin{eqnarray*}
 E(X^{2})
 & = & \sum_{k=1}^{n} (2k-1) (1-p)^{k-1} + n^2(1-p)^n \\
+& = & \sum_{k=1}^{n} 2k * (1-p)^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 1 * (1-p)^{k-1} + n^2(1-p)^n  \\
 & = & 2 \underline {\sum_{k=1}^{n} k(1-p)^{k-1}} - \underline{\sum_{k=1}^{n} (1-p)^{k-1}} + \underline{n^2(1-p)^n} \\
 \end{eqnarray*}
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 이는 기하분포의 평균에서 p가 생략된 것과 같다.
 \begin{align*}
-\left(E(X) = \right) \sum_{k=1}^{n} k (1-p)^{k-1} \cdot p & = \frac{1}{p} \\
+E(X) = \sum_{k=1}^{n} k (1-p)^{k-1} \cdot p & = \frac{1}{p} \\
 \sum_{k=1}^{n} k (1-p)^{k-1} & = \frac{1}{p^2} \\
 \\
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 \end{eqnarray*}
-n이 무한대로 간다고 생각하면 (, [[:geometric sequences and sums]] 참조)
+n이 무한대로 간다고 생각하면 ([[:geometric sequences and sums]] 참조)
 \begin{eqnarray*}
 \sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} & = & a \frac{1-r^n}{1-r} \\
 a=1; r = (1-p); \\
 \sum_{k=1}^{\infty} (1-p)^{k-1} & = & \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \\
-(1-p)^n -> 0 ; \\
+(1-p)^n \rightarrow 0 ; \\
 & = & \frac{1}{p}
 \end{eqnarray*}
-마지막 밑줄부분에서 n이 무한으로 가는 경우를 생각하면 (즉, 아주 크다고 생각하면)
+마지막 밑줄부분에서 k가 무한으로 가는 경우를 생각하면 (즉, 아주 크다고 생각하면)
 \begin{eqnarray*}
 n^2 \cdot (1-p)^n & = & 0 \\
 \\
 \end{eqnarray*}
+따라서
 \begin{eqnarray*}