전제: Expected value (기대값)와 Variance (분산)의 연산에 과한 법칙으로는 ¹⁾ 참조.

평균이 (mean) $\mu$ 이고, 분산이 (variance) $\sigma^{2}$ 인 모집단에서 (population) 독립적으로 추출되어 관촬되는 $X_{1}, X_{2}, . . . , X_{n}$ 이 있다고 하자. 이 샘플링은 아래와 같이 도식화되어 생각될 수 있다.
\begin{eqnarray*} X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ . . . . \\ X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ \end{eqnarray*}

이 때 $X_{2}$ 에 대한 기대값은 $E[X_{2}]$ 일 것이고, 이는 $\mu$ 일 것이다. 또한 $X_{2}$ 에 대한 분산값은 $Var[X_{2}]$ 일 것이고, 이는 $\sigma^{2}$ 일 것이다. 이를 일반화하면,

\begin{eqnarray*} E\left[X_{i}\right] & = & \mu \\ Var\left[X_{i}\right] & = & \sigma^{2} \end{eqnarray*}

한편, $\overline{X}$ 는
\begin{align*} \overline{X} & = \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \\ \end{align*}
이고

\begin{align*} E\left[\overline{X}\right] & = E \left[ \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \right] \\ & = \left( \frac{1}{n} \right) E \left[ X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \\ & = \left( \frac{1}{n} \right) \left(E \left[X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \right) \\ & = \left( \frac{1}{n} \right) \left(E[X_{1}] + E[X_{2}] + . . . + E[X_{n}]\right) \\ & = \left( \frac{1}{n} \right) \left(\mu + \mu + . . . + \mu\right)\\ & = \left( \frac{1}{n} \right) (n \mu)\\ & = \mu \\ \\ \\ E\left[\overline{X}\right] & = \mu_{\overline{X}} = \mu \\ \end{align*}

\begin{align*} Var\left[\overline{X}\right] & = Var \left[ \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \right] \\ & = \left(\frac{1}{n}\right)^2 Var \left[ X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \\ & = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \left(Var[X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}]\right) \\ & = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \left(Var[X_{1}] + Var[X_{2}] + . . . + Var[X_{n}]\right)\\ & = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \left(\sigma^2 + \sigma^2 + . . . + \sigma^2\right) \\ & = \frac{1}{n^2} n \sigma^2 \\ & = \frac{\sigma^2}{n} \\ \\ \\ Var\left[\overline{X}\right] & = \frac{\sigma^2}{n} \\ \sigma_{\overline{X}}^{2} & = \frac{\sigma^2}{n} \\ \sigma_{\overline{X}} & = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\ \end{align*}