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repeated_measures_anova

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repeated_measures_anova [2020/06/11 15:18] – [demo 3] hkimscilrepeated_measures_anova [2022/05/10 10:29] (current) – removed hkimscil
Line 1: Line 1:
-See also, [[ANOVA]], [[:Factorial Anova|Factorial ANOVA]], [[:t-test#동일집단_간의_차이에_대해서_알아볼_때|paired sample t-test]] [[:r:repeated_measure_anova]]  
-====== Repeated Measure ANOVA ====== 
-Introduction 
-  * one-way ANOVA for //**related, not-independent groups**// 
-  * extension of the dependent t-test (one group t-test, repeated measure t-test) 
-  * also, it is called "within-subjects ANOVA" or "ANOVA for correlated samples" 
-  * the simplest one is __one-way repeated measures ANOVA__ 
-  * which requires one independent and one dependent variable 
-  * the independent variable is categorical (either nominal or ordinal) 
-  * the dependent variable is continuous (interval or ratio) 
- 
-Test Circumstances  
-  * one subject with repeated measures across a time period (differences of mean scores across three or more time periods) 
-    * participants being tested with headache drugs such as  
-      * group A, B, C, placebo  
-      * across the time periods j, k, l, m 
-    * testing the effect of a three-month exercise training program on blood sugar level 
-      * measure blood sugar level at 3 different points (pre-exercise, midway, post-exercise) 
-  * one subject with repeated measures in different situation (treatments; differences of mean scores under three or more different conditions) 
-    * e.g., participant (n=30) using and evaluating three web site UI (naver, daum, and google) 
-    * and rate its usefulness, usability and ease of use 
-  * data should look as follows: 
- 
-^ ^ pre-excerise \\ "sugar level"   ^ mid-term \\ "sugar level"   ^ post-exercise  \\ "sugar level"  ^ 
-|  a  | 250  | 220  | 150  | 
-|  b  | 300  | 170  | 120  | 
-|  c  | 150  | 120  | 120  | 
-|  d  | 230  | 170  | 160  | 
-|  e  | 260  | 250  | 250  | 
-|     | level 1  | level 2  | level 3  | 
- 
-Levels = related groups of the independent variable "time" 
- 
-^ ^ treatment \\ condition \\ "naver"   ^ treatment \\ condition \\ "daum"   ^ treatment \\ condition \\ "google"   ^ 
-|  a  | 70  | 60  | 80  | 
-|  b  | 50  | 70  | 50  | 
-|  c  | 40  | 50  | 60  | 
-|  d  | 30  | 40  | 60  | 
-|  e  | 60  | 50  | 40  | 
-|     | level 1  | level 2  | level 3  | 
- 
-in general, the data should look  
-^ ^  time/condition  ^^^ 
-| |  T1  |  T2  |  T3  | 
-|  s1  |  s1  |  s1  |  s1  | 
-|  s2  |  s2  |  s2  |  s2  | 
-|  s3  |  s3  |  s3  |  s3  | 
-|  s4  |  s4  |  s4  |  s4  | 
-|  s5  |  s5  |  s5  |  s5  | 
-|  ..  |  ..  |  ..  |  ..  | 
-|  sn  |  sn  |  sn  |  sn  | 
- 
-You should discern the above from normal ANOVA situation. 
- 
-^  ^  group  ^  treatment  ^ 
-| a |  1  |  70  | 
-| b |  1  |  50  | 
-| c |  1  |  40  | 
-| d |  1  |  30  | 
-| e |  1  |  60  | 
-| f |  2  |  60  | 
-| g |  2  |  70  | 
-| h |  2  |  50  | 
-| i |  2  |  40  | 
-| j |  2  |  50  | 
-| k |  3  |  80  | 
-| l |  3  |  50  | 
-| m |  3  |  60  | 
-| n |  3  |  60  | 
-| o |  3  |  40  | 
- 
-LOGICS 
-  * $\text{independent ANOVA: } F = \displaystyle \frac{MS_{between}}{MS_{within}} = \frac{MS_{between}}{MS_{error}}$ 
- 
-  * $\text{rep measures ANOVA: } F = \displaystyle \frac{MS_{between}}{MS_{within}} = \displaystyle \frac{MS_{conditions}}{MS_{error}}$ 
- 
-주> 
-  * "between" 이란 단어는 독립적인 그룹 **간**의 비교를 의미하므로, 반복측정(repeated measure)의 경우에는 conditions라는 용어를 사용. 
- 
--- Picture about here -- 
- 
-  * but, $\text{SS}_\text{{within}}$ can be partitioned as  
-    * $\text{SS}_{\text{ subjects}}$ and $\text{SS}_{\text{ error}}$ 
-    * Among the two, we can exclude the first from SS<sub>within</sub> 
-    * and solely use the latter as SS<sub>error</sub> 
-    * This is to say: 
-      * in $\text{independent ANOVA: } \text{SS}_\text{{within}} = \text{SS}_{\text{error}} $   
-      * in $\text{rep measures ANOVA: } \text{SS}_\text{{within}} = \text{SS}_{\text{subjects}} + \text{SS}_{\text{error}}$  
-    * This means that the term SS<sub>error</sub> will be **__smaller__** 
-    * But, with this SS<sub>error</sub>, the df is going to be (n-1)(k-1) 
- 
-^  subjects  ^  Pre  ^  1 Month  ^  3 Month  ^  Subject \\ Means  ^ 
-|  1  |  45  |  50  |  55  |  **50**  | 
-|  2  |  42  |  42  |  45  |  **43**  | 
-|  3  |  36  |  41  |  43  |  **40**  | 
-|  4  |  39  |  35  |  40  |  **38**  | 
-|  5  |  51  |  55  |  59  |  **55**  | 
-|  6  |  44  |  49  |  56  |  **49.7**  | 
-|  **Monthly mean**  |  **42.8**  |  **45.3**  |  **49.97**  |   | 
-|  **Grand mean: 45.9**      ||||| 
- 
-We do this (and the below example) with an excel {{:repeated_measures_anova_eg.xlsx|spreadsheet}}.  
-We also require {{:ftable.pdf|fdistribution table}} to determine the null hypothesis test. 
- 
-^  Headache Analysis  ^^^^^^^ 
-| | base   treatment  ||||| average \\ per case \\ (subject, \\ participant)  | 
-|  ser  | w1  |  w2  |  w3  |  w4  |  w5  | $\overline{X}_{part}$ \\ = average \\ per case \\ (subject, \\ participant)  | 
-|  1  |  21  |  22  |  8  |  6  |  6  |  12.6  | 
-|  2  |  20  |  19  |  10  |  4  |  9  |  12.4  | 
-|  3  |  7  |  5  |  5  |  4  |  5  |  5.2  | 
-|  4  |  25  |  30  |  13  |  12  |  4  |  16.8  | 
-|  5  |  30  |  33  |  10  |  8  |  6  |  17.4  | 
-|  6  |  19  |  27  |  8  |  7  |  4  |  13  | 
-|  7  |  26  |  16  |  5  |  2  |  5  |  10.8  | 
-|  8  |  13  |  4  |  8  |  1  |  5  |  6.2  | 
-|  9  |  26  |  24  |  14  |  8  |  17  |  17.8  | 
-|  average \\ per week  |  20.78  |  20.00  |  9.00  |  5.78  |  6.78  |  $\overline{X}$ = 12.47  | 
- 
-^  Stats  ^^ 
-|  Mean Total | 12.47  | 
-|  $\Sigma{X_i}$ | 561  | 
-|  $\Sigma{{X_i}^2}$ | 10483  | 
-|  # of week | 5  | 
-|  # of case (n) | 9  | 
- 
-SS<sub>total</sub> = $\Sigma{(X-\overline{X})^2} $ = 3489.2 \\ 
-SS<sub>participants</sub> = $w\Sigma{(\overline{X}_{participants}-\overline{X})}$ = 833.6 \\ 
-SS<sub>weeks</sub> = $n\Sigma{(\overline{X}_{week} - \overline{X})}$ = 1934.5 \\ 
-SS<sub>residual</sub>  \\ 
-= SS<sub>error</sub> \\ 
-= SS<sub>total</sub> - SS<sub>participants</sub> - SS<sub>weeks</sub>  \\ 
-= 721.1 \\ 
-\\ 
-df<sub>total</sub> = N - 1 = 45 - 1 = 44 \\ 
-df<sub>week</sub> = 5 - 1 = 4 = df<sub>between</sub> \\ 
-df<sub>participants</sub> = 9 - 1 = 8 = df<sub>subjects</sub> \\ 
-df<sub>error</sub>= (n - 1)(k - 1) = 8 * 4 = 32 = 40 - 8 = 32 \\ 
-df<sub>within</sub> = N - k = 45 - 5 = 40 
- 
-====== ie ====== 
-^  시각적 인지점수  ^^^^ 
-|참가자 | No visual distraction | Visual distraction | Sound Distraction | 
-|  A  |  47  |  22  |  41  | 
-|  B  |  57  |  31  |  52  | 
-|  C  |  38  |  18  |  40  | 
-|  D  |  45  |  32  |  43  | 
-====== in r ====== 
-===== demo1 ===== 
- 
-[[https://rcompanion.org/handbook/I_09.html]]  
-<WRAP box info> 
-data files in e.gs: 
-{{:demo1.csv}} 
-{{:demo2.csv}} 
-{{:demo3.csv}} 
-{{:demo4.csv}} 
-{{:exer.csv}} 
-</WRAP> 
- 
-<code> 
-demo1  <- read.csv("https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/demo1.csv") 
-demo1  
-str(demo1) ## 모든 변인이 int이므로 (숫자) factor로 바꿔야 한다 
- 
-## Convert variables to factor 
-demo1 <- within(demo1, { 
-  group <- factor(group) 
-  time <- factor(time) 
-  id <- factor(id) 
-}) ## 이제 pulse만 제외하고 모두 factor로 변환된 데이터 
- 
-str(demo1) 
-</code> 
- 
-demo1 data는 아래와 같다. 
-<code> 
-id group pulse time 
-1 1 10 1 
-1 1 10 2 
-1 1 10 3 
-2 1 10 1 
-2 1 10 2 
-2 1 10 3 
-3 1 10 1 
-3 1 10 2 
-3 1 10 3 
-4 1 10 1 
-4 1 10 2 
-4 1 10 3 
-5 2 15 1 
-5 2 15 2 
-5 2 15 3 
-6 2 15 1 
-6 2 15 2 
-6 2 15 3 
-7 2 16 1 
-7 2 15 2 
-7 2 15 3 
-8 2 15 1 
-8 2 15 2 
-8 2 15 3 
-</code> 
-이를 정리해보면  
- 
-||   || time  |||||||| 
-||   || t1  || t2  || t3  || mean \\ of the \\ same person's \\ measures  || 
-|| 1  || 10  || 10  || 10  || 10  || 
-|| 2  || 10  || 10  || 10  || 10  || 
-|| 3  || 10  || 10  || 10  || 10  || 
-|| 4  || 10  || 10  || 10  || 10  || 
-|| 5  || 15  || 15  || 15  || 15  || 
-|| 6  || 15  || 15  || 15  || 15  || 
-|| 7  || 16  || 15  || 15  || 15.333  || 
-|| 8  || 15  || 15  || 15  || 15  || 
-|| mean \\ across \\ the time  || 12.625  || 12.5  || 12.5  || 12.542  || 
- 
- 
-<code> 
-demo1.within.only.aov <- aov(pulse ~ time + Error(id), data = demo1) 
-summary(demo1.within.only.aov) 
-</code> 
- 
-<code> 
-> demo1.within.only.aov <- aov(pulse ~ time + Error(id), data = demo1) 
-> summary(demo1.within.only.aov) 
- 
-Error: id 
-          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
-Residuals  7  155.3   22.18                
- 
-Error: Within 
-          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
-time       2 0.0833 0.04167       1  0.393 
-Residuals 14 0.5833 0.04167                
->  
-</code> 
- 
-<code> 
-demo1  <- read.csv("https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/demo1.csv") 
-demo1  
-str(demo1) ## 모든 변인이 int이므로 (숫자) factor로 바꿔야 한다 
- 
-## Convert variables to factor 
-demo1 <- within(demo1, { 
-  group <- factor(group) 
-  time <- factor(time) 
-  id <- factor(id) 
-}) ## 이제 pulse만 제외하고 모두 factor로 변환된 데이터 
- 
-str(demo1) 
- 
-par(cex = .6) 
- 
-with(demo1, interaction.plot(time, group, pulse, 
-  ylim = c(5, 20), lty= c(1, 12), lwd = 3, 
-  ylab = "mean of pulse", xlab = "time", trace.label = "group")) 
- 
-demo1.aov <- aov(pulse ~ group * time + Error(id), data = demo1) 
-summary(demo1.aov) 
-</code> 
- 
-<code> 
-> summary(demo1.aov) 
- 
-Error: id 
-          Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)     
-group      1 155.04  155.04    3721 1.3e-09 *** 
-Residuals  6   0.25    0.04                     
---- 
-Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
- 
-Error: Within 
-           Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
-time        2 0.0833 0.04167       1  0.397 
-group:time  2 0.0833 0.04167       1  0.397 
-Residuals  12 0.5000 0.04167                
- 
-</code> 
-{{:pasted:20200611-142331.png?350}} 
- 
-===== demo2 ===== 
-<code> 
-demo2 <- read.csv("https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/demo2.csv") 
-## Convert variables to factor 
-demo2 <- within(demo2, { 
-    group <- factor(group) 
-    time <- factor(time) 
-    id <- factor(id) 
-}) 
-demo2 
- 
-with(demo2, interaction.plot(time, group, pulse, 
- ylim = c(10, 40), lty = c(1, 12), lwd = 3, 
- ylab = "mean of pulse", xlab = "time", trace.label = "group")) 
- 
-demo2.aov <- aov(pulse ~ group * time + Error(id), data = demo2) 
-summary(demo2.aov) 
-</code> 
- 
-{{:pasted:20200611-151520.png?350}} 
- 
-<code> 
-> demo2 <- read.csv("https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/demo2.csv") 
-> ## Convert variables to factor 
-> demo2 <- within(demo2, { 
-+     group <- factor(group) 
-+     time <- factor(time) 
-+     id <- factor(id) 
-+ }) 
- 
-> demo2 
-   id group pulse time 
-1   1     1    14    1 
-2   1     1    19    2 
-3   1     1    29    3 
-4   2     1    15    1 
-5   2     1    25    2 
-6   2     1    26    3 
-7   3     1    16    1 
-8   3     1    16    2 
-9   3     1    31    3 
-10  4     1    12    1 
-11  4     1    24    2 
-12  4     1    32    3 
-13  5     2    10    1 
-14  5     2    21    2 
-15  5     2    24    3 
-16  6     2    17    1 
-17  6     2    26    2 
-18  6     2    35    3 
-19  7     2    19    1 
-20  7     2    22    2 
-21  7     2    32    3 
-22  8     2    15    1 
-23  8     2    23    2 
-24  8     2    34    3 
->  
-> with(demo2, interaction.plot(time, group, pulse, 
-+  ylim = c(10, 40), lty = c(1, 12), lwd = 3, 
-+  ylab = "mean of pulse", xlab = "time", trace.label = "group")) 
->  
-> demo2.aov <- aov(pulse ~ group * time + Error(id), data = demo2) 
-> summary(demo2.aov) 
- 
-Error: id 
-          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 
-group      1  15.04   15.04   0.836  0.396 
-Residuals  6 107.92   17.99                
- 
-Error: Within 
-           Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)     
-time        2  978.2   489.1  53.684 1.03e-06 *** 
-group:time  2    1.1     0.5   0.059    0.943     
-Residuals  12  109.3     9.1                      
---- 
-Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
->  
-</code> 
-===== demo 3 ===== 
-<code> 
-demo3 <- read.csv("https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/demo3.csv") 
-## Convert variables to factor 
-demo3 <- within(demo3, { 
-  group <- factor(group) 
-  time <- factor(time) 
-  id <- factor(id) 
-}) 
- 
-with(demo3, interaction.plot(time, group, pulse, 
-  ylim = c(10, 60), lty = c(1, 12), lwd = 3, 
-  ylab = "mean of pulse", xlab = "time", trace.label = "group")) 
- 
-demo3.aov <- aov(pulse ~ group * time + Error(id), data = demo3) 
-summary(demo3.aov) 
-</code> 
- 
-{{:pasted:20200611-151755.png?350}} 
- 
-<code> 
-> demo3 <- read.csv("https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/demo3.csv") 
-> ## Convert variables to factor 
-> demo3 <- within(demo3, { 
-+     group <- factor(group) 
-+     time <- factor(time) 
-+     id <- factor(id) 
-+ }) 
->  
-> with(demo3, interaction.plot(time, group, pulse, 
-+  ylim = c(10, 60), lty = c(1, 12), lwd = 3, 
-+  ylab = "mean of pulse", xlab = "time", trace.label = "group")) 
->  
-> demo3.aov <- aov(pulse ~ group * time + Error(id), data = demo3) 
-> summary(demo3.aov) 
- 
-Error: id 
-          Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)     
-group      1 2035.0  2035.0   343.1 1.6e-06 *** 
-Residuals  6   35.6     5.9                     
---- 
-Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
- 
-Error: Within 
-           Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)     
-time        2 2830.3  1415.2   553.8 1.52e-12 *** 
-group:time  2  200.3   100.2    39.2 5.47e-06 *** 
-Residuals  12   30.7     2.6                      
---- 
-Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
->  
->  
- 
-</code> 
-====== reference ====== 
-  * [[http://wwwstage.valpo.edu/other/dabook/ch12/c12-1.htm|Repeated measures one-way ANOVA]] by Akkelin 
-    * {{:ezdata.sav|ezdata: SPSS Data file}} 
-  * http://www.psych.utoronto.ca/courses/c1/chap14/chap14.html 
-  * https://statistics.laerd.com/statistical-guides/repeated-measures-anova-statistical-guide.php 
- 
-  * http://rcompanion.org/handbook/I_09.html : This is an excellent example, but, difficult to swallow. 
  
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