Standard Score

z score 문서 또한 참조하세요.

표준점수 =
개인 점수가 평균에서 표준편차로 몇 단위나 벗어나 있는지 알려주는 숫자
평균값으로부터의 표준편차의 수

각각의 퀴즈와 시험의 난이도가 항상 똑같을 수가 없기에 이런 bias를 줄이고자 표준점수를 이용합니다. 개인의 표준점수를 구하기 위해서는 시험 점수에 대한 평균과 (average) 표준편차를 (standard deviation) 우선 구합니다. 이 상태에서 평균 점수를 0 으로 맞춰 놓고 편준편차 값을 1로 한 후에 여러분의 점수가 몇개의 단위만큼 떨어져 있는지를 알고자 합니다. 이렇게 해서 구한 값을 표준점수라고 합니다 (z-score, 혹은 standard score). 그런데

이 상태에서 평균 점수를 0 으로 맞춰 놓고 표준편차 값을 1로 한 후에 여러분의 점수가 몇개의 단위만큼 떨어져 있는지를 알고자 합니다.

를 잘 살펴보면, 개인의 점수와 평균점수의 차이에 standard deviation가 몇 개나 들어가는지를 구하는 것이라고 이해할 수 있읍니다. 즉, 개인의 점수와 평균의 차이를 ($X_{i} - \bar{X}$) standard deviation으로 나누어 주는 ($\text{s}$) 것입니다.

$$\text{z score} = \frac {X_{i} - \bar{X}} {s}$$

z-score는 아래와 같은 성격을 갖게 됩니다.

z-score = 0 일 경우, 분자의 값이 0임을 의미하므로, 해당학생의 점수는 그 시험의 평균 점수와 같음을 의미합니다.
standard deviation이 갖는 성질에 의하여, 평균을 중심으로 1s, 2s, 3s 경계는 (즉, 0을 중심으로 1, 2, 3 점수의 경계는) 각각 68%, 95%, 99%에 위치합니다. standard deviation 참조
따라서 z-score = 1 인 학생의 경우, 그 학생보다 시험을 잘본 학생의 비율은 50-(68/2)인 16% 라고 생각할 수 있습니다.
z-score = -1 일 경우에는 그 시험을 본 사람들 중에서 약 16% 정도가 자기의 성적보다 낮으며, 반대로 약 84%정도가 자신보다 시험을 잘 본 것이 됩니다.
z-score = 2 일 경우에 자신의 점수는 상위 2.5%에 (50-(95/2)) 들게 됩니다.

각 점수를 이렇게 해서 구하게 되면 (퀴즈1, 퀴즈2, 퀴즈3 등의 표준점수), 각 시험에서 자신의 점수가 어느 등수에 있는가만을 나타내 주게 되므로 퀴즈 점수들을 등가로 비교할 수 있게 됩니다. 이렇게 구해진 표준 점수 중에서 가장 낮은 점수를 빼게 되면 자신의 점수 중에서 가장 낮은 점수 (상대적으로 다른 시험의 난이도 차이를 고려한)를 빼는 것이 됩니다.

이를 위해서, 강사는:

각 퀴즈의 표준 점수를 구합니다.
퀴즈의 표준 점수 중에서 가장 낮은 점수를 뺀 후에 평균을 냅니다.
이 점수를 그냥 쓰려고 하면, assignment 점수 또한 표준점수화해야 하는데, assignment는 퀴즈점수와 다른 성격을 가지므로 그렇게 하지 않습니다 (분산이 심하지 않는 특징). 따라서, 위의 평균된 표준점수를 100분 점수로 바꿉니다. 100분 점수는 표준점수를 구하는 방법을 역이용합니다. 즉, z점수가 2라고 한다면
- $2 * \text{s} = X_{i} - \bar{X}$,
- $X_{i} = (2 * \text{s}) + \bar{X}$.
- 위에서 평규과 표준편차는 가령, 50과 15처럼 임의로 정합니다.
- 이를 일반화 하면
- $X_{i} = (\text{z-score} * \text{s}) + \bar{X}$.
이 점수를 실라버스의 퀴즈비율 (가령, 25%)로 곱하여 퀴즈점수를 구합니다.
Assignment점수 등의 variation이 많지 않은 점수는 표준화하지 않고 100분점수를 구합니다.
각 점수의 비중에 맞게 각각의 점수에 해당 비중을 곱합니다.

가령,

퀴즈평균 표준점수	* .25
중간고사			* .25
기말고사			* .25
과제1			* .10
과제2 			* .10
출석 			* .05

이렇게 해서 구한 점수에 등수를 매깁니다.
학교에서 요구하는 상대평가 기준에 따라서 grade를 부여합니다.

왜 백분점수로 바꾸는가?

퀴즈점수와 같은 시험점수만을 사용하여 그래이드를 구한다면, 궂이 백분점수로 바꿀 이유가 전혀 없습니다. 그러나, 실습점수나 과제 점수 등은 퀴즈점수와 다른 variance (보다 균일한) 값을 가지므로, 이를 표준점수로 바꾸는 것은 무리가 있습니다. 백분점수는 기본적으로 평균을 50점으로 하고 표준편차를 15-20점으로 하여 바꿉니다.