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--- variance [2024/09/11 07:58] – [Read more] hkimscil
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 ====== Variance ======
-  * 분산은 개인점수들이 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 나타내주는 지표이다.
+  * 숫자로 측정된 한 변인이 (variable Y) 있다.
-    * 어느 집합의 개인 점수가 그 집합의 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 알아볼 수 있는데 이를 deviation score라고 (ds) 부른다. 분산은 각 개인의 ds값을 제곱하여 모두 더한 후 N으로 나눈 값을 말한다.
+  * 변인 Y는 총 100개의 원소로 구성되어 하나의 샘플이라고 할 수 있다.
-  * 분산은 일종의 에러이다.
+  * 변인 Y의 (그룹 Y의) 특징으로는 (sample statistics)
-    * 분산은 숫자로 측정된 하나의 집합 내에 속한 개인점수를 평균으로 예측했을 때, 그 오차를 (평균과 실제점수 간의 차이) 알려주는 지표이다. 따라서 분산은 오차의 제곱의 합을 N으로 나눠준 값이다고 해도 된다.
+    * 평균값이 50 이고
-  * 분산은 일종의 불확실성이다.
+    * 표준편차 값이 4 이다.
+  * 각 개인의  점수는
+    * 그룹의 특징이라고 할 수 있는 평균값과 (mean)
+    * 그룹의 특징을 제거한 랜덤하게 나타나는 차이값으로 (deviation score, difference score) 나타낼 수 있다.
+    * 가령 한 개인의 점수 54점에는 그룹의 특징인 50점과 그 그룹의 특징을 제외하고 나타나는 4점의 차이점수로 나눠진다.
+  * 따라서 변인 Y내의 모든 개인들의 점수는
+    * 그룹의 평균점수와
+    * 평균에서 랜덤하게 떨어져 있는 점수로 나누어 진다고 할 수 있다.
+  * 개인의 차이 점수를 모아서 보면 그 집합이 전체특징에서 (평균) 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 (개인점수의 분포) 알려준다.
+  * 단 차이점수의 합은 언제나 0이 되므로 차이점수를 제곱해서 모아 본 점수를 가지고 "개인점수의 분포" 정도를 가늠한다.
+  * 위의 설명을 수식으로 요약하면 $ \sum{(Yi - \overline{Y})^2} $ 라고 쓸 수 있다.
+  * 우리는 이것을 Sum of Square 라고 (제곱의 합) 부른다.
+  * 그런데 위는 다음 처럼도 설명할 수 있다.
+  * 각 개인의 점수를 예측하라고 하면 평균값을 가지고 예측하는 것이 가장 오차가 적은 결과를 낳을 것을다.
+  * 따라서 개인의 점수를 평균으로 예측했을 때, 각 오차를 제곱해서 더해 보면 오차가 얼마나 큰지를 알려주는 지표가 된다.
+  * 이 때의 오차는 위의 설명과 마찬가지로 개인의 점수가 평균을 중심으로 얼마나 떨어져 있는지를 알려주는 지표가 된다.
+  * 따라서 먼저 언급한 제곱의 합은 "(평균으로 개인점수를 예측했을 때 얻는) 오차의 제곱의 합"이라고 이해라 수 있다.
+    * 이를 Sum of Square Error 라고도 부른다
+    * 혹은 Sum of Square Deviation Score 라고도 부르는데 deviation score라는 것은 개인 점수가 (Yi) 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 (deviated 되어 있는가) 알려준다고 설명하기 때문이다. 따라서 deviation score는 error score (from the mean) 와 같은 것이다.
+    * 또한 SS Error는 Sum of Square Residual이라고도 부른다. 여기서 residual의 의미는 샘플의 전체특징힌 평균값을 뺀 나머지라는 (residual) 뜻에서의 residual이다.
+    * 마지막으로 Sum of Square Total이라고도 부르는데 이 때 Total의 의미는 Y 변인의 (평균에서의) 오차 전체를 의미한다고 보면 된다.
+  * 분산은 (variance) 위의 Sum of Square 값을 (평균을 구할 때와 마찬가지로) 샘플의 크기인 n으로 나누어준 값을 말한다.
+  * 그런데 실제로는 n으로 나누어 주기 보다는 n-1로 나누어 주는데 흔히 이 n-1을 degrees of freedom이라고 부른다.
+  * 이에 대해서는 다른 부분에서 자세히 설명한다.
+  * 따라서 분산값은 아래처럼 요약된다.
+\begin{eqnarray*}
+\sigma^2 & = & \dfrac {\text{SS}} {\text{df}} \\
+& = & \dfrac{\text{Sum of Error Square}}{\text{df}} \\
+& = & \dfrac{\text{Sum of Residual Square}}{\text{df}} \\
+& = & \dfrac{\text{Sum of DS Square}}{\text{df}}, \;\;\; \text{DS = Deviation Score} \\
+& = & \dfrac{\sum{(Yi - \overline{Y})^2}}{n-1}, \;\;\; \text{where } (Yi - \overline{Y}) = \text{Error, Residual, or DS}
+\end{eqnarray*}
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 아래의 그래프는 각각 그 평균과 분산값이 다른 그래프이다. 검은색 라인의 경우 (가장 왼쪽), 평균은 -2, 분산값은 16 이고; 붉은 색 라인은 평균이 5, 분산값은 4, 마지막으로 청색 라인의 경우는 평균은 8, 분산 값은 1 인 경우이다.
-{{:pasted:20200414-130627.png}}
+|{{:pasted:20200414-130627.png?600}}|
+|<WRAP> 위 그래프 R에서 그리기
 <code>
 x <- seq(-15, 15, length=1000)
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        labels, lwd=4, lty=c(1, 1, 1), col=colors, cex=1.7)
 </code>
+</WRAP>|
 그림에서 직관적으로 보고 알 수 있듯이 분산은 그래프의 분포가 평균을 중심으로 얼마나 퍼져있는지를 (spread) 나타내주는 일종의 지표이다. 어떤 집합이 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는가를 알아보기 위한 방법으로는 상식적으로 떠올릴 수 있는 것은 각 개인의 점수가 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 측정하여 모두 더한 후 이를 개인 수로 (number of elements) 나누는 방법을 떨올릴 수 있다. 개인의 점수가 평균에서 얼마나 떨어져 있는가를 deviation score라고 한다. 아래의 그래프는 평균이 100인 그래프를 그린 것인데, 어느 한 개인의 점수가 120이라고 하면 그 개인의 deviation score는 120-100, 즉 20이라고 할 수 있다.
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 $$s^2 = \displaystyle \frac{SS}{df}$$
-위에서 샘플의 분산으로 모집단의 분산을 추정할 때 n-1을 쓴다고 하였지만, 사실은 모집단의 분산을 계산할 때에도 n-1을 쓴다. 그 이유는 모집단이라면 N이 상당히 클텐데, 이 경우 SS값도 아주 큰 값을 갖는다. 이 숫자을 (SS값을) N으로 나누거나 N-1로 나누거나 큰 차이가 없다. 따라서 모든 경우에 n-1로 나누어 분산을 구한다.
+위에서 샘플의 분산으로 모집단의 분산을 추정할 때 n-1을 쓴다고 하였지만, <fc #ff0000>사실은</fc> 모집단의 분산을 계산할 때에도 <fc #ff0000>n-1</fc>을 쓴다. 그 이유는 모집단이라면 N이 상당히 클텐데, 이 경우 SS값도 아주 큰 값을 갖는다. 이 숫자을 (SS값을) N으로 나누거나 N-1로 나누거나 큰 차이가 없다. 따라서 모든 경우에 n-1로 나누어 분산을 구한다.
+$$\sigma^2 = \displaystyle \frac{SS}{N-1} = \displaystyle \frac{SS}{df}$$
+아래는 R에서 보는 간단한 예이다.
+<code>
+> a <- rnorm2(100000000, 100, 10)
+> a.mean <- mean(a)
+> ss <- sum((a-a.mean)^2)
+> n <- length(a)
+> df <- n-1
+> ss/n
+[1] 100
+> ss/df
+[1] 100
+</code>
 See also [[Standard Deviation]] \\