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--- b:head_first_statistics:geometric_binomial_and_poisson_distributions [2019/11/07 10:26] – [What does the Poisson distribution look like?] hkimscil
+++ b:head_first_statistics:geometric_binomial_and_poisson_distributions [2023/10/19 19:00] (current) – [Geometric Binomial and Poisson Distributions] hkimscil
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ====== Geometric Binomial and Poisson Distributions ======
+정리
+\begin{align*}
+\text{Geometric Distribution:  } \;\;\; \text{X} & \thicksim Geo(p) \\
+p(X = k) & = q^{k-1} \cdot p \\
+E\left[ X \right] & = \frac{1}{p} \\
+V\left[ X \right] & = \frac{q}{p^2} \\
+\\
+\text{Binomial Distribution:  } \;\;\; \text{X} & \thicksim B(n, p) \\
+p(X = r) & = \binom{n}{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r} \\
+E\left[ X \right] & = {n}{p} \\
+V\left[ X \right] & = {n}{p}{q} \\
+\\
+\text{Poisson Distribution:  } \;\;\; \text{X} & \thicksim P( \lambda ) \\
+P(X=r) & = e^{- \lambda} \cdot \dfrac{\lambda^{r}} {r!} \\
+E\left[ X \right] & = \lambda \\
+V\left[ X \right] & = \lambda \\
+\end{align*}
 ===== Geometric Distributions =====
@@ Line 69: / Line 87: @@
 [29] 0.0003868563 0.0003094850
 >
-> hist(dgeom(x = 0:n, prob = p))</code>
+> hist(dgeom(x = 0:n, prob = p))
 </code>
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191030-023820.png}}
-r번 시도한 후에 첫번 째 성공을 얻을 확률
+r번 시도한 다음에 성공을 얻을 확률
 첫 번째 성공을 얻을 때까지 r번 이상 시도를 해야하는 확률
 $$ P(X > r) = q^{r} $$
 번 시도 후에 어디선가 성공할 확률은?
-번까지는 실패하는 확률 = $q^{r} $
-{{:b:head_first_statistics:pasted:20191031-004954.png}}
+Solution.
+  * 21번째 성공 + 22번째 + 23번째 + . . . .
+  * 위는 구할 수 없음
+  * 따라서
+  * 1 - (1번째 성공 + 2번째 성공 + . . . + 20번째 성공)
+  * 그런데 이것은
+  * 20번까지는 실패하는 확률 = $q^{r} $ 과 같다
+<code>
+p <- .2
+q <- 1-p
+n <- 19
+s <- dgeom(x = 0:n, prob = p)
+# 20번째까지 성공할 확률
+sum(s)
+# 따라서 아래는 20번 이후에 성공할 확률
+-sum(s)
+## 혹은 (교재가 이야기하는) 20번까지 실패하는 확률
+q^20
+</code>
+<code>
+> p <- .2
+> q <- 1-p
+> n <- 19
+> s <- dgeom(x = 0:n, prob = p)
+> # 20번째까지 성공할 확률
+> sum(s)
+[1] 0.9884708
+> # 따라서 아래는 20번 이후에 성공할 확률
+> 1-sum(s)
+[1] 0.01152922
+> ## 혹은 (교재가 이야기하는) 20번까지 실패하는 확률
+> q^20
+[1] 0.01152922
+>
+</code>
+{{:b:head_first_statistics:pasted:20191031-004954.png}}
+그렇다면
 r 번 이전에 성공이 있을 확률은? = r 번까지의 실패할 확률의 보수
 $$ P(X \le r) = 1 - q^{r} $$
+혹은 1번째 성공 + 2번째 성공 + . . . + r 번째 성공으로 구해도 된다
+<code>
+# r = 20 이라고 하면
+p <- .2
+q <- 1-p
+n <- 19
+s <- dgeom(x = 0:n, prob = p)
+sum(s)
+</code>
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191031-005143.png}}
@@ Line 93: / Line 159: @@
 ===== Expected value =====
-Reminding . . .
+X가 성공할 확률 p를 가진 Geometric distribution을 따른다  :: $X \sim \text{Geo}(p)$
+Reminding . . . [[:b/head_first_statistics/using_discrete_probability_distributions#expected_value_discrete_prob|Expected value in discrete probability]]
 $E(X) = \sum x*P(X=x)$
-| textbook  | x  | P(X = x)  | xP(X = x)  | xP(X ≤ x): \\  $E(X) = \sum x*P(X=x)$  |
+| textbook  | x  | P(X = x)  | xP(X = x)  | xP(X ≤ x): \\  $E(X) = \sum (x*P(X=x))$  |
 | r code  | trial  | ''px <- q^(trial-1)*p''  | ''npx <- trial*(q^(trial-1))*p''  |  ''plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)''  |
+|   |   | ''px''   | ''npx <- trial*px''   | ''plex <- cumsum(npx)''   |
+|   |   | x번째 (trial번째) \\ 성공할 확률  | x번째의 기대치 \\ (주사위 경우처럼)  | 그 x번째까지 성공할 \\ 확률에 대한 기대값  |
 <code>
 p <- .2
 q <- 1-p
-trial <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
+trial <- c(1:8)
 px <- q^(trial-1)*p
 px
-npx <- trial*(q^(trial-1))*p
+## npx <- trial*(q^(trial-1))*p
+## 위는 아래와 같음
 npx <- trial*px
 npx
-plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
+## plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
+## 위는 아래와 같음
+plex <- cumsum(npx)
 plex
 sumgeod <- data.frame(trial,px,npx,plex)
@@ Line 139: / Line 214: @@
      8 0.042 0.336 2.819
 >
-</code>
-<code>
-p <- .2
-q <- 1-p
-trial <- c(1:100)
-px <- q^(trial-1)*p
-px
-npx <- trial*(q^(trial-1))*p
-npx
-plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
-plex
-sumgeod <- data.frame(trial,px,npx,plex)
-round(sumgeod,3)
-plot(npx, type="l")
-plot(plex, type="l")
 </code>
@@ Line 162: / Line 221: @@
 > trial <- c(1:100)
 > px <- q^(trial-1)*p
-> px
+> round(px, 3)
-  [1] 2.000000e-01 1plot(plex, type="l").600000e-01 1.280000e-01 1.024000e-01 8.192000e-02 6.553600e-02 5.242880e-02
+  [1] 0.200 0.160 0.128 0.102 0.082 0.066 0.052 0.042 0.034 0.027 0.021 0.017
-  [8] 4.194304e-02 3.355443e-02 2.684355e-02 2.147484e-02 1.717987e-02 1.374390e-02 1.099512e-02
+ [13] 0.014 0.011 0.009 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001
- [15] 8.796093e-03 7.036874e-03 5.629500e-03 4.503600e-03 3.602880e-03 2.882304e-03 2.305843e-03
+ [25] 0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [22] 1.844674e-03 1.475740e-03 1.180592e-03 9.444733e-04 7.555786e-04 6.044629e-04 4.835703e-04
+ [37] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [29] 3.868563e-04 3.094850e-04 2.475880e-04 1.980704e-04 1.584563e-04 1.267651e-04 1.014120e-04
+ [49] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [36] 8.112964e-05 6.490371e-05 5.192297e-05 4.153837e-05 3.323070e-05 2.658456e-05 2.126765e-05
+ [61] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [43] 1.701412e-05 1.361129e-05 1.088904e-05 8.711229e-06 6.968983e-06 5.575186e-06 4.460149e-06
+ [73] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [50] 3.568119e-06 2.854495e-06 2.283596e-06 1.826877e-06 1.461502e-06 1.169201e-06 9.353610e-07
+ [85] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [57] 7.482888e-07 5.986311e-07 4.789049e-07 3.831239e-07 3.064991e-07 2.451993e-07 1.961594e-07
+ [97] 0.000 0.000 0.000 0.000
- [64] 1.569275e-07 1.255420e-07 1.004336e-07 8.034690e-08 6.427752e-08 5.142202e-08 4.113761e-08
- [71] 3.291009e-08 2.632807e-08 2.106246e-08 1.684997e-08 1.347997e-08 1.078398e-08 8.627183e-09
- [78] 6.901746e-09 5.521397e-09 4.417118e-09 3.533694e-09 2.826955e-09 2.261564e-09 1.809251e-09
- [85] 1.447401e-09 1.157921e-09 9.263367e-10 7.410694e-10 5.928555e-10 4.742844e-10 3.794275e-10
- [92] 3.035420e-10 2.428336e-10 1.942669e-10 1.554135e-10 1.243308e-10 9.946465e-11 7.957172e-11
- [99] 6.365737e-11 5.092590e-11
 > npx <- trial*(q^(trial-1))*p
-> npx
+> round(npx, 3)
-  [1] 2.000000e-01 3.200000e-01 3.840000e-01 4.096000e-01 4.096000e-01 3.932160e-01 3.670016e-01
+  [1] 0.200 0.320 0.384 0.410 0.410 0.393 0.367 0.336 0.302 0.268 0.236 0.206
-  [8] 3.355443e-01 3.019899e-01 2.684355e-01 2.362232e-01 2.061584e-01 1.786706e-01 1.539316e-01
+ [13] 0.179 0.154 0.132 0.113 0.096 0.081 0.068 0.058 0.048 0.041 0.034 0.028
- [15] 1.319414e-01 1.125900e-01 9.570149e-02 8.106479e-02 6.845471e-02 5.764608e-02 4.842270e-02
+ [25] 0.024 0.020 0.016 0.014 0.011 0.009 0.008 0.006 0.005 0.004 0.004 0.003
- [22] 4.058284e-02 3.394201e-02 2.833420e-02 2.361183e-02 1.964504e-02 1.632050e-02 1.353997e-02
+ [37] 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
- [29] 1.121883e-02 9.284550e-03 7.675228e-03 6.338253e-03 5.229059e-03 4.310012e-03 3.549422e-03
+ [49] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [36] 2.920667e-03 2.401437e-03 1.973073e-03 1.619997e-03 1.329228e-03 1.089967e-03 8.932412e-04
+ [61] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [43] 7.316071e-04 5.988970e-04 4.900066e-04 4.007165e-04 3.275422e-04 2.676089e-04 2.185473e-04
+ [73] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [50] 1.784060e-04 1.455793e-04 1.187470e-04 9.682448e-05 7.892109e-05 6.430607e-05 5.238022e-05
+ [85] 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
- [57] 4.265246e-05 3.472060e-05 2.825539e-05 2.298743e-05 1.869645e-05 1.520236e-05 1.235804e-05
+ [97] 0.000 0.000 0.000 0.000
- [64] 1.004336e-05 8.160232e-06 6.628619e-06 5.383242e-06 4.370871e-06 3.548119e-06 2.879633e-06
- [71] 2.336616e-06 1.895621e-06 1.537559e-06 1.246898e-06 1.010998e-06 8.195824e-07 6.642931e-07
- [78] 5.383362e-07 4.361904e-07 3.533694e-07 2.862292e-07 2.318103e-07 1.877098e-07 1.519771e-07
- [85] 1.230291e-07 9.958120e-08 8.059129e-08 6.521410e-08 5.276414e-08 4.268560e-08 3.452790e-08
- [92] 2.792587e-08 2.258353e-08 1.826109e-08 1.476428e-08 1.193576e-08 9.648071e-09 7.798028e-09
- [99] 6.302080e-09 5.092590e-09
 > plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
-> plex
+> round(plex, 3)
-  [1] 0.200000 0.520000 0.904000 1.313600 1.723200 2.116416 2.483418 2.818962 3.120952 3.389387
+  [1] 0.200 0.520 0.904 1.314 1.723 2.116 2.483 2.819 3.121 3.389 3.626 3.832
- [11] 3.625610 3.831769 4.010440 4.164371 4.296313 4.408903 4.504604 4.585669 4.654124 4.711770
+ [13] 4.010 4.164 4.296 4.409 4.505 4.586 4.654 4.712 4.760 4.801 4.835 4.863
- [21] 4.760192 4.800775 4.834717 4.863051 4.886663 4.906308 4.922629 4.936169 4.947388 4.956672
+ [25] 4.887 4.906 4.923 4.936 4.947 4.957 4.964 4.971 4.976 4.980 4.984 4.987
- [31] 4.964347 4.970686 4.975915 4.980225 4.983774 4.986695 4.989096 4.991069 4.992689 4.994018
+ [37] 4.989 4.991 4.993 4.994 4.995 4.996 4.997 4.997 4.998 4.998 4.999 4.999
- [41] 4.995108 4.996002 4.996733 4.997332 4.997822 4.998223 4.998550 4.998818 4.999037 4.999215
+ [49] 4.999 4.999 4.999 4.999 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
- [51] 4.999361 4.999479 4.999576 4.999655 4.999719 4.999772 4.999814 4.999849 4.999877 4.999900
+ [61] 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
- [61] 4.999919 4.999934 4.999947 4.999957 4.999965 4.999971 4.999977 4.999981 4.999985 4.999988
+ [73] 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
- [71] 4.999990 4.999992 4.999993 4.999995 4.999996 4.999997 4.999997 4.999998 4.999998 4.999998
+ [85] 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
- [81] 4.999999 4.999999 4.999999 4.999999 4.999999 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000
+ [97] 5.000 5.000 5.000 5.000
- [91] 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000
 > sumgeod <- data.frame(trial,px,npx,plex)
 > round(sumgeod,3)
@@ Line 315: / Line 361: @@
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191031-010726.png}}
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191031-010811.png}}
+위에서 $X \sim \text{Geo}(p)$ 일때, 기대값은 $E(X) = \displaystyle \frac{1}{p}$ 임을 알 수 있다. 아래는 그 증명이다.
+===== Proof =====
+[[:Mean and Variance of Geometric Distribution#Mean|기하분포의 기대값(expected value)]]
-$X \sim Geo(p)$ 일때, 기대값은
-$E(X) = \displaystyle \frac{1}{p}$
+===== Variance proof =====
+[[:Mean and Variance of Geometric Distribution#Variance|기하분포의 분산 증명]]
-===== Variance =====
+아래는 R에서의 시뮬레이션
 \begin{eqnarray*}
 Var(X) & = & E((X-E(X))^{2}) \\
@@ Line 335: / Line 383: @@
 $E(X^{2}) = \sum {x^{2} * P(X=x)}$
 왜냐하면, $E(X) = \sum {x * P(X=x)}$ 이므로
 이를 구한 후에 여기에서 $E[X]^{2}$ 를 빼준 값이 Var(X)
@@ Line 341: / Line 388: @@
 \begin{eqnarray*}
-E(X)^{2} & = & (\frac{1}{p})^{2} \\
+E(X)^{2} & = & \left(\frac{1}{p}\right)^{2} \\
 & = & (5^{2}) \\
 & = & 25
@@ Line 544: / Line 591: @@
 >
 </code>
-위에서 보듯이 plex column에 해당하는 것이 E(X^2) 부분이고 이는 45가 된다.
-E(X)^2 은 25이므로, Var(X) = 20이 된다.
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191031-062004.png}}
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191031-062021.png}}
-$Var(X) = \displaystyle \frac{q}{p^{2}}$
+위에서 보듯이 plex column에 해당하는 것이 $E(X^2)$ 부분이고 이는 45가 된다 (45에 수렴한다). 또한 언급한 것처럼 $Var(X) = E(X^2) - E(X)^2$ 이고 $E(X)^2 = 25$ 이므로,
+\begin{align*}
+Var(X) & = E(X^2) - E(X)^2 \\
+& = 45 - 25 \\
+& = 20
+\end{align*}
+일반적으로
+\begin{align}
+Var(X) = \displaystyle \frac{q}{p^{2}}
+\end{align}
+아래는 이를 R에서 계산해 본 것
 <code>
 q/(p^2)
@@ Line 558: / Line 613: @@
 </code>
 ===== Sum up =====
-$$P(X = r) = p * q^{r-1} $$
+\begin{align}
-$$P(X > r) = q^{r} $$
+P(X = r) & = p * q^{r-1} \\
-$$P(X \le r) = 1 - q^{r} $$
+P(X > r) & = q^{r} \\
-$$E(X) = \displaystyle \frac{1}{p}$$
+P(X \le r) & = 1 - q^{r} \\
-$$Var(X) = \displaystyle \frac{q}{p^{2}} $$
+E(X) & = \displaystyle \frac{1}{p} \\
+Var(X) & = \displaystyle \frac{q}{p^{2}} \\
+\end{align}
+$(5)$, $(6)$에 대한 증명은 [[:Mean and Variance of Geometric Distribution]]
 ===== e.g., =====
 <WRAP box>
@@ Line 586: / Line 643: @@
 ====== Binomial Distributions ======
+  - 1번의 시행에서 특정 사건 A가 발생할 확률을 p라고 하면
+  - n번의 (독립적인) 시행에서 사건 A가 발생할 때의 확률 분포를
+  - **이항확률분포**라고 한다.
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191030-035316.png}}
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191030-035452.png}}
@@ Line 596: / Line 658: @@
 {{:b:head_first_statistics:pasted:20191030-040346.png}}
-$$P(X = r) = \Huge\text{?} \cdot 0.25^{r} \cdot 0.75^{3-r}$$
+$$P(X = r) = {\huge\text{?} \cdot 0.25^{r} \cdot 0.75^{3-r}} $$
-$$P(X = r) = \displaytype _{3}C_{r} \cdot 0.25^{r} \cdot 0.75^{3-r}$$
+$$P(X = r) = {\huge_{3}C_{r}} \cdot 0.25^{r} \cdot 0.75^{3-r}$$
 $_{n}C_{r}$은 n개의 사물에서 r개를 (순서없이) 고르는 방법의 수라고 할 때, 3개의 질문 중에서 한 개의 정답을 맞히는 방법은 $_{3}C_{1} = 3$ 세가지가 존재.
@@ Line 612: / Line 674: @@
 \end{eqnarray*}
-$$P(X = r) = \displaytype _{n}C_{r} \cdot 0.25^{r} \cdot 0.75^{n-r}$$
+$$P(X = r) = _{n}C_{r} \cdot 0.25^{r} \cdot 0.75^{n-r}$$
-$$P(X = r) = \displaytype _{n}C_{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r}$$
+$$P(X = r) = _{n}C_{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r}$$
   - You’re running a series of independent trials.
@@ Line 622: / Line 684: @@
 \begin{eqnarray*}
-P(X = r) & = & \displaytype _{n}C_{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r} \;\;\; \text{Where,} \\
+P(X = r) & = & _{n}C_{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r} \;\;\; \text{Where,} \\
-_{n}C_{r} & = & \displaytype \frac {n!}{r!(n-r)!}
+_{n}C_{r} & = & \frac {n!}{r!(n-r)!}
 \end{eqnarray*}
@@ Line 804: / Line 866: @@
 X = 0, 1 (failure and success)
-$P(X=x) = p^{x}(1-p)^{1-x}$
+$P(X=x) = p^{x}(1-p)^{1-x}$ or
+$P(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}$
+참고.
+| x  | 0  | 1  |
+| p(x)  | q = (1-p)  | p  |
 When x = 0 (failure), $P(X = 0) = p^{0}(1-p)^{1-0} = (1-p)$ = Probability of failure
@@ Line 815: / Line 882: @@
 </WRAP>
-$$P(X=x) = p^{x}(1-p)^{1-x}$$
+$P(X=x) = p^{x}(1-p)^{1-x}$ or
+$P(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}$
 X takes, x = 0, 1
+==== Expectation and Variance value ====
 \begin{eqnarray*}
-E(X) & = & \sum_{x}xp(X=x) \\
+E(X) & = & \sum_{x}xP(x) \\
 & = & 0*p^{0}(1-p)^{1-0} + 1*p^{1}(1-p)^{1-1}  \\
-& = & p
+& = & p \\
-\end{eqnarray*}
+\\
-\begin{eqnarray*}
 Var(X) & = & E((X-\mu)^{2}) \\
-& = & \sum_{x}(x-\mu)^2p(x)
+& = & \sum_{x}(x-\mu)^2P(x) \\
 \end{eqnarray*}
+그런데
-한편,
 \begin{eqnarray*}
 E((X-\mu)^{2}) & = & E(X^2) - (E(X))^2 \\
@@ Line 836: / Line 902: @@
 위에서
 \begin{eqnarray*}
-E(X^{2}) & = & \sum X^2 p(x) \\
+E(X^{2}) & = & \sum x^2 p(x) \\
 & = & 0^2*p^0(1-p)^{1-0} + 1^2*p^1(1-p)^{1-1} \\
 & = & p
@@ Line 852: / Line 918: @@
 \end{eqnarray*}
-위는 First Head Statistics 에서 $X \sim (1, 0.25)$ 에서 E(X)와 Var(X)를 구한 후 (각각, p와 pq), X가 n가지가 있다고 확장하여 np와 npq를 구한 것과 같다. 즉, 교재는 Bernoulli distribution을 이야기(설명)하지 않고, 활용하여 binomial distribution의 기대값과 분산값을 구해낸 것이다. 아래는 그 나머지.
+위는 First Head Statistics 에서 $X \sim (1, 0.25)$ 에서 E(X)와 Var(X)를 구한 후 (각각, p와 pq), X가 n가지가 있다고 확장하여 np와 npq를 구한 것과 같다. 즉, 교재는 Bernoulli distribution을 이야기(설명)하지 않고, 활용하여 binomial distribution의 기대값과 분산값을 구해낸 것이다.
-==== Proof of E and Var ====
+==== Proof of E and Var from Bernoulli Distribution ====
 $E(U_{i}) = p$  and $Var(U_{i}) = p(1-p)$ or $Var(U_{i}) = p \cdot q$
@@ Line 875: / Line 941: @@
-==== From a scratch ====
+==== From a scratch (Proof of Binomial Expected Value) ====
-\begin{eqnarray*}
+[[:Mean and Variance of Binomial Distribution|이항분포에서의 기댓값과 분산에 대한 수학적 증명]], Mathematical proof of Binomial Distribution Expected value and Variance
-(a + b)^{m} = \sum^{m}_{y=0}{{m}\choose{y}} a^{y} b^{m-y} \\
-\end{eqnarray*}
-See youtube video clip,
-{{youtube>8fqkQRjcR1M}}
-The Binomial Distribution: Mathematically Deriving the Mean and Variance
 ====== Poisson Distribution ======
 $$X \sim Po(\lambda)$$
@@ Line 908: / Line 967: @@
 For curiosity,
 \begin{eqnarray*}
 \sum_{r=0}^{\infty} e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!}
+& = & e^{- \lambda} \sum_{r=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{r}} {r!}  \\
 & = & e^{- \lambda} \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right) \\
 & = & e^{- \lambda}e^{\lambda} \\
 & = & 1
 \end{eqnarray*}
+왜 $e^{\lambda} = \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right)$ 인지는 [[:Taylor series]] 문서를 참조.
 <code>
@@ Line 930: / Line 992: @@
 \begin{eqnarray*}
-P(X=r) = e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!},\qquad k = 0, 1, 2, . . .,
+P(X=r) = e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!},\qquad r = 0, 1, 2, . . .,
 \end{eqnarray*}
@@ Line 951: / Line 1013: @@
 > plot(dpois(x=1:60, lambda=30), type = "l")
 > </code>
+위에서 언급한
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{r=0}^{\infty} e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!}
+& = & e^{- \lambda} \sum_{r=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{r}} {r!}  \\
+& = & e^{- \lambda} \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right) \\
+& = & e^{- \lambda}e^{\lambda} \\
+& = & 1
+\end{eqnarray*}
+에서 1 이란 이야기는 아래 그림의 그래프가 전체가 1이 됨을 의미함. 즉 위에서는 1부터 60까지 갔지만, 1부터 무한대로 하면 완전한 분포곡선이 되는데 이것이 1이라는 뜻 (가령 dpois(x=1:1000, lambda=30)과 같은 케이스).
 [{{:b:head_first_statistics:pasted:20191107-095627.png|Figure 1. lambda=30}}]
@@ Line 986: / Line 1062: @@
 __1. What’s the probability of the machine not malfunctioning next week?__
 $\lambda = 3.4$
-$ malfunctioning = 0$
+$\text{malfunctioning} = 0$
 \begin{eqnarray*}
-P(X=0) & = & \displaytype\frac{e^{-3.4}*3.4^{0}} {0!}  \\
+P(X=0) & = & \frac{e^{-3.4}*3.4^{0}} {0!}  \\
-& = & \displaytype e^{3.4} \\
+& = & e^{-3.4} \\
 & = & 0.03337327
 \end{eqnarray*}
@@ Line 1006: / Line 1083: @@
 x <- 3
 e <- exp(1)
-ans <- ((e^(-l))*l^x)/x!
+ans <- ((e^(-l))*l^x)/factorial(x)
 </code>
@@ Line 1022: / Line 1099: @@
 > dpois(x=3, lambda=3.4)
 [1] 0.2186172
+</code>
+마찬가지로 적어도 3번까지 고장나는 경우는 0, 1, 2, 3을 포함하므로
+<code>
+> sum(dpois(c(0:3), lambda=3.4))
+[1] 0.5583571
+>
 </code>
@@ Line 1031: / Line 1115: @@
 \end{eqnarray*}
+[[:mean and variance of Poisson distribution]]
 ===== Two Poisson distribution cases =====
@@ Line 1107: / Line 1192: @@
 > a*b*c
 [1] 0.03268244
+>
+</code>
+위가 답이긴 하지만 limited calculator 로는
+x ~ b (n, p)이고
+b(100, 0.1)이므로
+n*p = 10 = lambda
+따라서
+<code>
+> dpois(x=15, lambda=10)
+[1] 0.03471807
 >
 </code>