b:head_first_statistics:geometric_binomial_and_poisson_distributions
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| b:head_first_statistics:geometric_binomial_and_poisson_distributions [2023/10/18 14:37] – [From a scratch (Proof of Binomial Expected Value)] hkimscil | b:head_first_statistics:geometric_binomial_and_poisson_distributions [2024/10/28 08:37] (current) – [Broken Cookies case] hkimscil | ||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| ====== Geometric Binomial and Poisson Distributions ====== | ====== Geometric Binomial and Poisson Distributions ====== | ||
| + | 정리 | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \text{Geometric Distribution: | ||
| + | p(X = k) & = q^{k-1} \cdot p \\ | ||
| + | E\left[ X \right] & = \frac{1}{p} \\ | ||
| + | V\left[ X \right] & = \frac{q}{p^2} \\ | ||
| + | \\ | ||
| + | \text{Binomial Distribution: | ||
| + | p(X = r) & = \binom{n}{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r} \\ | ||
| + | E\left[ X \right] & = {n}{p} \\ | ||
| + | V\left[ X \right] & = {n}{p}{q} \\ | ||
| + | \\ | ||
| + | \text{Poisson Distribution: | ||
| + | P(X=r) & = e^{- \lambda} \cdot \dfrac{\lambda^{r}} {r!} \\ | ||
| + | E\left[ X \right] & = \lambda \\ | ||
| + | V\left[ X \right] & = \lambda \\ | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| ===== Geometric Distributions ===== | ===== Geometric Distributions ===== | ||
| Line 27: | Line 45: | ||
| | X | P(X=x) | | X | P(X=x) | ||
| - | | 1 | 0.2 | 0 | 1 | | + | | 1 | 0.8< |
| - | | 2 | 0.8 * 0.2 | 1 | 1 | | + | | 2 | 0.8< |
| | 3 | 0.8< | | 3 | 0.8< | ||
| | 4 | 0.8< | | 4 | 0.8< | ||
| Line 39: | Line 57: | ||
| This formula is called the **geometric distribution**. | This formula is called the **geometric distribution**. | ||
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | order to get the first successful outcome. | + | |
| $ P(X=r) = {p \cdot q^{r-1}} $ | $ P(X=r) = {p \cdot q^{r-1}} $ | ||
| Line 74: | Line 91: | ||
| {{: | {{: | ||
| - | r번 시도한 | + | r번 시도한 |
| - | 첫 번째 성공을 얻을 때까지 r번 이상 시도를 해야하는 | + | |
| $$ P(X > r) = q^{r} $$ | $$ P(X > r) = q^{r} $$ | ||
| - | 20번 시도 후에 어디선가 성공할 확률은? | + | 예, 20번 시도 후에 어디선가 성공할 확률은? |
| Solution. | Solution. | ||
| Line 84: | Line 100: | ||
| * 위는 구할 수 없음 | * 위는 구할 수 없음 | ||
| * 따라서 | * 따라서 | ||
| + | * 전체 확률이 1이고 20번째까지 성공한 확률을 1에서 빼면 원하는 확률이 됨 | ||
| * 1 - (1번째 성공 + 2번째 성공 + . . . + 20번째 성공) | * 1 - (1번째 성공 + 2번째 성공 + . . . + 20번째 성공) | ||
| * 그런데 이것은 | * 그런데 이것은 | ||
| Line 92: | Line 109: | ||
| n <- 19 | n <- 19 | ||
| s <- dgeom(x = 0:n, prob = p) | s <- dgeom(x = 0:n, prob = p) | ||
| - | # 20번째까지 성공할 확률 | + | # 20번째까지 성공할 |
| sum(s) | sum(s) | ||
| - | # 따라서 아래는 20번 이후에 성공할 확률 | + | # 따라서 아래는 20번 이후 |
| 1-sum(s) | 1-sum(s) | ||
| ## 혹은 (교재가 이야기하는) 20번까지 실패하는 확률 | ## 혹은 (교재가 이야기하는) 20번까지 실패하는 확률 | ||
| Line 108: | Line 125: | ||
| > sum(s) | > sum(s) | ||
| [1] 0.9884708 | [1] 0.9884708 | ||
| - | > # 따라서 아래는 20번 이후에 성공할 확률 | + | > # 따라서 아래는 20번 이후 |
| > 1-sum(s) | > 1-sum(s) | ||
| [1] 0.01152922 | [1] 0.01152922 | ||
| Line 629: | Line 646: | ||
| - n번의 (독립적인) 시행에서 사건 A가 발생할 때의 확률 분포를 | - n번의 (독립적인) 시행에서 사건 A가 발생할 때의 확률 분포를 | ||
| - **이항확률분포**라고 한다. | - **이항확률분포**라고 한다. | ||
| + | 아래를 보면 | ||
| + | * 각 한문제를 맞힐 확률은 1/4, 틀릴 확률은 3/4 | ||
| + | * 3문제를 풀면서 (3번의 시행) 각 문제를 맞힐 확률 분포를 말한다. | ||
| {{: | {{: | ||
| Line 659: | Line 679: | ||
| $$P(X = r) = _{n}C_{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r}$$ | $$P(X = r) = _{n}C_{r} \cdot p^{r} \cdot q^{n-r}$$ | ||
| - | - You’re running a series of independent trials. | + | - You’re running a series of independent trials. |
| - | - There can be either a success or failure for each trial, and the probability of success is the same for each trial. | + | - There can be either a success or failure for each trial, and the probability of success is the same for each trial. |
| - | - There are a finite number of trials. | + | - There are a finite number of trials. |
| X가 n번의 시행에서 성공적인 결과를 얻는 수를 나타낸다고 할 때, r번의 성공이 있을 확률을 구하려면 아래 공식을 이용한다. | X가 n번의 시행에서 성공적인 결과를 얻는 수를 나타낸다고 할 때, r번의 성공이 있을 확률을 구하려면 아래 공식을 이용한다. | ||
| Line 683: | Line 703: | ||
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
| - | E(X) & = & \sum{n*p(x)} \\ | + | E(X) & = & \sum{x * p(x)} \\ |
| - | & = & (1*p)+(0*q) \\ | + | & = & (0*q) + (1*p) \\ |
| & = & p | & = & p | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| Line 735: | Line 755: | ||
| n <-5 | n <-5 | ||
| # combinations of 5,2 | # combinations of 5,2 | ||
| - | c <- choose(5,2) | + | c <- choose(n,r) |
| ans1 <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | ans1 <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | ||
| ans1 | ans1 | ||
| Line 745: | Line 765: | ||
| > n <-5 | > n <-5 | ||
| > # combinations of 5,2 | > # combinations of 5,2 | ||
| - | > c <- choose(5,2) | + | > c <- choose(n,r) |
| > ans <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | > ans <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | ||
| > ans | > ans | ||
| Line 760: | Line 780: | ||
| n <-5 | n <-5 | ||
| # combinations of 5,3 | # combinations of 5,3 | ||
| - | c <- choose(5,3) | + | c <- choose(n,r) |
| ans2 <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | ans2 <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | ||
| ans2 | ans2 | ||
| Line 770: | Line 790: | ||
| > n <-5 | > n <-5 | ||
| > # combinations of 5,3 | > # combinations of 5,3 | ||
| - | > c <- choose(5,3) | + | > c <- choose(n,r) |
| > ans2 <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | > ans2 <- c*(p^r)*(q^(n-r)) | ||
| > ans2 | > ans2 | ||
| Line 924: | Line 944: | ||
| ==== From a scratch (Proof of Binomial Expected Value) ==== | ==== From a scratch (Proof of Binomial Expected Value) ==== | ||
| - | [[:Mean and Variance of Binomial Distribution|Mathematical proof of Binomial Distribution Expected value and Variance]] | + | [[:Mean and Variance of Binomial Distribution|이항분포에서의 기댓값과 분산에 대한 수학적 증명]], |
| ====== Poisson Distribution ====== | ====== Poisson Distribution ====== | ||
| $$X \sim Po(\lambda)$$ | $$X \sim Po(\lambda)$$ | ||
| Line 956: | Line 976: | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| - | 왜 $e^{\lambda} = \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right)$ 인지는 [[:Taylor series]] 문서를 참조. | + | 왜 $e^{\lambda} = \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right)$ 인지는 [[:Taylor series]] 문서를 참조. |
| + | 이것이 의미하는 것은 r이 0에서 무한대로 갈 때의 확률값의 분포를 말하므로 전체 분포가 1이 됨을 의미한다. 아래 "What does the Poisson distribution look like?" 참조 | ||
| < | < | ||
| Line 967: | Line 988: | ||
| 위의 그림은 lambda는 2, 즉 한달에 아주대학교 앞의 건널목 주변 찻길에서 교통사고가 날 횟수가 2회라고 할 때, X=3 이므로 3번 교통사고가 일어날 확률을 (P(X=3)) 묻는 문제이다. | 위의 그림은 lambda는 2, 즉 한달에 아주대학교 앞의 건널목 주변 찻길에서 교통사고가 날 횟수가 2회라고 할 때, X=3 이므로 3번 교통사고가 일어날 확률을 (P(X=3)) 묻는 문제이다. | ||
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
| - | P(X = 3) & = & \frac {e^{-2} * 2^{3}}{3!} \\ | + | P(X = 3) & = & e^{-2} * \frac {2^{3}}{3!} \\ |
| & = & 0.180 | & = & 0.180 | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| Line 1011: | Line 1032: | ||
| [{{: | [{{: | ||
| - | lambda가 클 수록 좌우대칭의 종형분포를 이루고 ((Figure 1)), 작을 수로 오른 쪽으로 편향된 (skewed to the right) 혹은 양의방향으로 편향된(positively skewed) 분포를 ((Figure 2)) 이룬다. | + | lambda가 클 수록 좌우대칭의 종형분포를 이루고 ((Figure 1)), 작을 수록 오른 쪽으로 편향된 (skewed to the right) 혹은 양의방향으로 편향된(positively skewed) 분포를 ((Figure 2)) 이룬다. |
| < | < | ||
| Line 1049: | Line 1070: | ||
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
| - | P(X=0) & = & \frac{e^{-3.4}*3.4^{0}} {0!} \\ | + | P(X=0) & = & e^{-3.4} * \frac{3.4^{0}} {0!} \\ |
| & = & e^{-3.4} \\ | & = & e^{-3.4} \\ | ||
| & = & 0.03337327 | & = & 0.03337327 | ||
| Line 1055: | Line 1076: | ||
| < | < | ||
| + | # R 에서 계산 | ||
| > e^(-3.4) | > e^(-3.4) | ||
| + | [1] 0.03337327 | ||
| + | > | ||
| + | # 혹은 | ||
| + | > dpois(0, 3.4) | ||
| [1] 0.03337327 | [1] 0.03337327 | ||
| > | > | ||
| </ | </ | ||
| + | |||
| + | 포아송 분포를 따르는 확률에서 아무것도 일어나지 않을 때의 확률은 e< | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | P(X=0) & = & e^{-5} * \frac{5^{0}} {0!} \\ | ||
| + | & = & e^{-5} \\ | ||
| + | & = & 0.006737947 | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | < | ||
| + | > lamba <- 5 | ||
| + | > e <- exp(1) | ||
| + | > px.0 <- e^(-lamba) | ||
| + | > | ||
| + | > px.0 | ||
| + | [1] 0.006737947 | ||
| + | > | ||
| + | # or | ||
| + | > dpois(0,5) | ||
| + | [1] 0.006737947 | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | |||
| __2. What’s the probability of the machine malfunctioning three times next week?__ | __2. What’s the probability of the machine malfunctioning three times next week?__ | ||
| Line 1143: | Line 1190: | ||
| **How did Kate find the probability so quickly, and avoid the error on her calculator? | **How did Kate find the probability so quickly, and avoid the error on her calculator? | ||
| </ | </ | ||
| + | 우선 위의 문제를 binomial distribution 문제로 생각하면 답은 | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | P(r=15) & = & _{100}C_{15} * 0.1^{15} * 0.99^{85}\\ | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | 라고 볼 수 있다. | ||
| \begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
| Line 1180: | Line 1232: | ||
| b(100, 0.1)이므로 | b(100, 0.1)이므로 | ||
| n*p = 10 = lambda | n*p = 10 = lambda | ||
| - | 따라서 | + | 따라서 |
| + | lambda = 10 일때 P(r=15)값을 구하는 문제로 | ||
| + | |||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | P(r = 15) & = & e^{-10} * \frac {10^{15}}{15!} \\ | ||
| + | & = & 0.0347180 | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| < | < | ||
| > dpois(x=15, lambda=10) | > dpois(x=15, lambda=10) | ||
| Line 1300: | Line 1358: | ||
| <WRAP box> | <WRAP box> | ||
| - | 2. On average, 1 bus stops at a certain point every 15 minutes. What’s the probability that no buses will turn up in a single 15 minute interval? | + | 2. On average, 1 bus stops at a certain point every 15 minutes. What’s the probability that __<fc #ff0000>no buses</ |
| 위는 Poisson distribution 문제이므로 기대값과 분산값은 각각 lambda 값인 1 (15분마다 1대씩 버스가 온다고 한다) | 위는 Poisson distribution 문제이므로 기대값과 분산값은 각각 lambda 값인 1 (15분마다 1대씩 버스가 온다고 한다) | ||
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