기하분포
\begin{align*} \text{Geometric Distribution: } \;\;\; \text{X} & \thicksim Geo(p) \\ p(X = k) & = q^{k-1} \cdot p \\ E\left[ X \right] & = \frac{1}{p} \\ V\left[ X \right] & = \frac{q}{p^2} \\ \\ \end{align*}

The probability of Chad making a clear run down the slope is 0.2, and he's going to keep on trying until he succeeds. After he’s made his first successful run down the slopes, he’s going to stop snowboarding, and head back to the lodge triumphantly

P(X = 1) = P(success in the first trial) = 0.2
P(X = 2) = P(success in the second trial union failure in the first trial) = 0.8 * 0.2 = 0.16
1회 혹은 2회에서 성공할 확률
P(X <= 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.2 + 0.16 = 0.36

$P(X = r) = 0.8^{r-1} × 0.2$
$P(X = r) = q^{r-1} × p $

This formula is called the geometric distribution.

• You run a series of independent trials. * (각 시행이 독립적임 = 이번 시행이 이전 시행과 상관없이 일어남)
• There can be either a success or failure for each trial, and the probability of success is the same for each trial. (성공/실패만 일어나는 상황에서, 성공하는 확률은 p로 실행햇수동안 일정)
• The main thing you’re interested in is how many trials are needed in order to get the first successful outcome. (성공하면 중단하고 성공할 때까지의 확률을 분포로 봄)

$ P(X=r) = {p \cdot q^{r-1}} $
$ P(X=r) = {p \cdot (1-p)^{r-1}} $

p = 0.20
n = 29
## geometric . . . . 
## note that it starts with 0 rather than 1
## since the function uses p * q^(r), 
## rather than p * q^(r-1)
dgeom(x = 0:n, prob = p)
hist(dgeom(x = 0:n, prob = p))

> p = 0.20
> n = 29
> # exact
> dgeom(0:n, prob = p)
 [1] 0.2000000000 0.1600000000 0.1280000000 0.1024000000 0.0819200000 0.0655360000 0.0524288000
 [8] 0.0419430400 0.0335544320 0.0268435456 0.0214748365 0.0171798692 0.0137438953 0.0109951163
[15] 0.0087960930 0.0070368744 0.0056294995 0.0045035996 0.0036028797 0.0028823038 0.0023058430
[22] 0.0018446744 0.0014757395 0.0011805916 0.0009444733 0.0007555786 0.0006044629 0.0004835703
[29] 0.0003868563 0.0003094850 
> 
> hist(dgeom(x = 0:n, prob = p))

r번 시도한 이후, 그 이후 어디서든지 간에 성공을 얻을 확률
$$ P(X > r) = q^{r} $$

예, 20번 시도 후에 어디선가 성공할 확률은?

Solution.

• 21번째 성공 + 22번째 + 23번째 + . . . .
• 위는 구할 수 없음
• 따라서
• 전체 확률이 1이고 20번째까지 성공한 확률을 1에서 빼면 원하는 확률이 됨
• 1 - (1번째 성공 + 2번째 성공 + . . . + 20번째 성공)
• 그런데 이것은
• 20번까지는 실패하는 확률 = $q^{r} $ 과 같다

p <- .2
q <- 1-p
n <- 19
s <- dgeom(x = 0:n, prob = p)
# 20번째까지 성공할 확률을 모두 더한 확률
sum(s)
# 따라서 아래는 20번 이후 어디서든지 간에서 성공할 확률
1-sum(s)
## 혹은 (교재가 이야기하는) 20번까지 실패하는 확률
q^20

> p <- .2
> q <- 1-p
> n <- 19
> s <- dgeom(x = 0:n, prob = p)
> # 20번째까지 성공할 확률
> sum(s)
[1] 0.9884708
> # 따라서 아래는 20번 이후 어디서든지 간에서 성공할 확률
> 1-sum(s)
[1] 0.01152922
> ## 혹은 (교재가 이야기하는) 20번까지 실패하는 확률
> q^20
[1] 0.01152922
> 

그렇다면
r 번 이전에 성공이 있을 확률은? = r 번까지의 실패할 확률의 보수
$$ P(X \le r) = 1 - q^{r} $$

혹은 1번째 성공 + 2번째 성공 + . . . + r 번째 성공으로 구해도 된다

# r = 20 이라고 하면 
p <- .2
q <- 1-p
n <- 19
s <- dgeom(x = 0:n, prob = p)
sum(s)

Note that
$$P(X > r) + P(X \le r) = 1 $$

X가 성공할 확률 p를 가진 Geometric distribution을 따른다 :: $X \sim \text{Geo}(p)$

Reminding . . . Expected value in discrete probability
$E(X) = \sum x*P(X=x)$

• 우리가 작업하고 있는 채드의 슬로프 타기 예가 얼른 이해가 안된다면 아래 workout의 예를 들어 본다.

• x 일주일에 내가 갈 운동횟수 (workout frequency, 0 to 4)
• px 각 횟수에 대한 probability
• npx weighted probability
• plex cumulative sum of npx (to find out the below last one)
• sum of npx = 2.1 = mean of all = expected value of x = E(x)
• https://www.youtube.com/watch?v=qafPcWNUiM8 참조

p <- .2
q <- 1-p
trial <- c(1:8)
px <- q^(trial-1)*p
px
## npx <- trial*(q^(trial-1))*p
## 위는 아래와 같음
npx <- trial*px
npx
## plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
## 위는 아래와 같음
plex <- cumsum(npx)
plex
sumgeod <- data.frame(trial,px,npx,plex)
round(sumgeod,3)

> p <- .2
> q <- 1-p
> trial <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
> px <- q^(trial-1)*p
> px
[1] 0.20000000 0.16000000 0.12800000 0.10240000 0.08192000 0.06553600 0.05242880 0.04194304
> npx <- trial*(q^(trial-1))*p
> npx
[1] 0.2000000 0.3200000 0.3840000 0.4096000 0.4096000 0.3932160 0.3670016 0.3355443
> plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
> plex
[1] 0.200000 0.520000 0.904000 1.313600 1.723200 2.116416 2.483418 2.818962
> sumgeod <- data.frame(trial,px,npx,plex)
> round(sumgeod,3)
  trial    px   npx  plex
1     1 0.200 0.200 0.200
2     2 0.160 0.320 0.520
3     3 0.128 0.384 0.904
4     4 0.102 0.410 1.314
5     5 0.082 0.410 1.723
6     6 0.066 0.393 2.116
7     7 0.052 0.367 2.483
8     8 0.042 0.336 2.819
> 

• 아래의 예는 위의 workout 예처럼 횟수가 0-4로 정해져 있지 않고 계속 진행됨 (0-무한대)
• 하지만 여기서는 100 까지로 한정 (1:100)
• 각 지점에서의 probability = geometric probability = q^(trial-1)*p = px
• 각 지점에서의 weighted prob = trial * px = npx
• 각 단계에서의 기대값을 구하기 위한 누적합계 cumsum(npx) = plex
• 아래 그림에서 plex는 각 단계의 probability density를 더해온 값을 말한다.
• 그림이 암시하는 것처럼 오른 쪽으로 한 없이 가면서 생기는 그래프의 용적은 기대값이 된다.

p <- .2
q <- 1-p
trial <- c(1:100)
px <- q^(trial-1)*p
px
npx <- trial*px
npx
## plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
## 위는 아래와 같음
plex <- cumsum(npx)
plex
sumgeod <- data.frame(trial,px,npx,plex)
sumgeod 

plot(npx, type="l")
plot(plex, type="l")

> 
> p <- .2
> q <- 1-p
> trial <- c(1:100)
> px <- q^(trial-1)*p
> px
  [1] 2.000000e-01 1.600000e-01 1.280000e-01 1.024000e-01
  [5] 8.192000e-02 6.553600e-02 5.242880e-02 4.194304e-02
  [9] 3.355443e-02 2.684355e-02 2.147484e-02 1.717987e-02
 [13] 1.374390e-02 1.099512e-02 8.796093e-03 7.036874e-03
 [17] 5.629500e-03 4.503600e-03 3.602880e-03 2.882304e-03
 [21] 2.305843e-03 1.844674e-03 1.475740e-03 1.180592e-03
 [25] 9.444733e-04 7.555786e-04 6.044629e-04 4.835703e-04
 [29] 3.868563e-04 3.094850e-04 2.475880e-04 1.980704e-04
 [33] 1.584563e-04 1.267651e-04 1.014120e-04 8.112964e-05
 [37] 6.490371e-05 5.192297e-05 4.153837e-05 3.323070e-05
 [41] 2.658456e-05 2.126765e-05 1.701412e-05 1.361129e-05
 [45] 1.088904e-05 8.711229e-06 6.968983e-06 5.575186e-06
 [49] 4.460149e-06 3.568119e-06 2.854495e-06 2.283596e-06
 [53] 1.826877e-06 1.461502e-06 1.169201e-06 9.353610e-07
 [57] 7.482888e-07 5.986311e-07 4.789049e-07 3.831239e-07
 [61] 3.064991e-07 2.451993e-07 1.961594e-07 1.569275e-07
 [65] 1.255420e-07 1.004336e-07 8.034690e-08 6.427752e-08
 [69] 5.142202e-08 4.113761e-08 3.291009e-08 2.632807e-08
 [73] 2.106246e-08 1.684997e-08 1.347997e-08 1.078398e-08
 [77] 8.627183e-09 6.901746e-09 5.521397e-09 4.417118e-09
 [81] 3.533694e-09 2.826955e-09 2.261564e-09 1.809251e-09
 [85] 1.447401e-09 1.157921e-09 9.263367e-10 7.410694e-10
 [89] 5.928555e-10 4.742844e-10 3.794275e-10 3.035420e-10
 [93] 2.428336e-10 1.942669e-10 1.554135e-10 1.243308e-10
 [97] 9.946465e-11 7.957172e-11 6.365737e-11 5.092590e-11
> npx <- trial*px
> npx
  [1] 2.000000e-01 3.200000e-01 3.840000e-01 4.096000e-01
  [5] 4.096000e-01 3.932160e-01 3.670016e-01 3.355443e-01
  [9] 3.019899e-01 2.684355e-01 2.362232e-01 2.061584e-01
 [13] 1.786706e-01 1.539316e-01 1.319414e-01 1.125900e-01
 [17] 9.570149e-02 8.106479e-02 6.845471e-02 5.764608e-02
 [21] 4.842270e-02 4.058284e-02 3.394201e-02 2.833420e-02
 [25] 2.361183e-02 1.964504e-02 1.632050e-02 1.353997e-02
 [29] 1.121883e-02 9.284550e-03 7.675228e-03 6.338253e-03
 [33] 5.229059e-03 4.310012e-03 3.549422e-03 2.920667e-03
 [37] 2.401437e-03 1.973073e-03 1.619997e-03 1.329228e-03
 [41] 1.089967e-03 8.932412e-04 7.316071e-04 5.988970e-04
 [45] 4.900066e-04 4.007165e-04 3.275422e-04 2.676089e-04
 [49] 2.185473e-04 1.784060e-04 1.455793e-04 1.187470e-04
 [53] 9.682448e-05 7.892109e-05 6.430607e-05 5.238022e-05
 [57] 4.265246e-05 3.472060e-05 2.825539e-05 2.298743e-05
 [61] 1.869645e-05 1.520236e-05 1.235804e-05 1.004336e-05
 [65] 8.160232e-06 6.628619e-06 5.383242e-06 4.370871e-06
 [69] 3.548119e-06 2.879633e-06 2.336616e-06 1.895621e-06
 [73] 1.537559e-06 1.246898e-06 1.010998e-06 8.195824e-07
 [77] 6.642931e-07 5.383362e-07 4.361904e-07 3.533694e-07
 [81] 2.862292e-07 2.318103e-07 1.877098e-07 1.519771e-07
 [85] 1.230291e-07 9.958120e-08 8.059129e-08 6.521410e-08
 [89] 5.276414e-08 4.268560e-08 3.452790e-08 2.792587e-08
 [93] 2.258353e-08 1.826109e-08 1.476428e-08 1.193576e-08
 [97] 9.648071e-09 7.798028e-09 6.302080e-09 5.092590e-09
> ## plex <- cumsum(trial*(q^(trial-1))*p)
> ## 위는 아래와 같음
> plex <- cumsum(npx)
> plex
  [1] 0.200000 0.520000 0.904000 1.313600 1.723200 2.116416 2.483418
  [8] 2.818962 3.120952 3.389387 3.625610 3.831769 4.010440 4.164371
 [15] 4.296313 4.408903 4.504604 4.585669 4.654124 4.711770 4.760192
 [22] 4.800775 4.834717 4.863051 4.886663 4.906308 4.922629 4.936169
 [29] 4.947388 4.956672 4.964347 4.970686 4.975915 4.980225 4.983774
 [36] 4.986695 4.989096 4.991069 4.992689 4.994018 4.995108 4.996002
 [43] 4.996733 4.997332 4.997822 4.998223 4.998550 4.998818 4.999037
 [50] 4.999215 4.999361 4.999479 4.999576 4.999655 4.999719 4.999772
 [57] 4.999814 4.999849 4.999877 4.999900 4.999919 4.999934 4.999947
 [64] 4.999957 4.999965 4.999971 4.999977 4.999981 4.999985 4.999988
 [71] 4.999990 4.999992 4.999993 4.999995 4.999996 4.999997 4.999997
 [78] 4.999998 4.999998 4.999998 4.999999 4.999999 4.999999 4.999999
 [85] 4.999999 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000
 [92] 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000 5.000000
 [99] 5.000000 5.000000
> sumgeod <- data.frame(trial,px,npx,plex)
> sumgeod 
    trial           px          npx     plex
1       1 2.000000e-01 2.000000e-01 0.200000
2       2 1.600000e-01 3.200000e-01 0.520000
3       3 1.280000e-01 3.840000e-01 0.904000
4       4 1.024000e-01 4.096000e-01 1.313600
5       5 8.192000e-02 4.096000e-01 1.723200
6       6 6.553600e-02 3.932160e-01 2.116416
7       7 5.242880e-02 3.670016e-01 2.483418
8       8 4.194304e-02 3.355443e-01 2.818962
9       9 3.355443e-02 3.019899e-01 3.120952
10     10 2.684355e-02 2.684355e-01 3.389387
11     11 2.147484e-02 2.362232e-01 3.625610
12     12 1.717987e-02 2.061584e-01 3.831769
13     13 1.374390e-02 1.786706e-01 4.010440
14     14 1.099512e-02 1.539316e-01 4.164371
15     15 8.796093e-03 1.319414e-01 4.296313
16     16 7.036874e-03 1.125900e-01 4.408903
17     17 5.629500e-03 9.570149e-02 4.504604
18     18 4.503600e-03 8.106479e-02 4.585669
19     19 3.602880e-03 6.845471e-02 4.654124
20     20 2.882304e-03 5.764608e-02 4.711770
21     21 2.305843e-03 4.842270e-02 4.760192
22     22 1.844674e-03 4.058284e-02 4.800775
23     23 1.475740e-03 3.394201e-02 4.834717
24     24 1.180592e-03 2.833420e-02 4.863051
25     25 9.444733e-04 2.361183e-02 4.886663
26     26 7.555786e-04 1.964504e-02 4.906308
27     27 6.044629e-04 1.632050e-02 4.922629
28     28 4.835703e-04 1.353997e-02 4.936169
29     29 3.868563e-04 1.121883e-02 4.947388
30     30 3.094850e-04 9.284550e-03 4.956672
31     31 2.475880e-04 7.675228e-03 4.964347
32     32 1.980704e-04 6.338253e-03 4.970686
33     33 1.584563e-04 5.229059e-03 4.975915
34     34 1.267651e-04 4.310012e-03 4.980225
35     35 1.014120e-04 3.549422e-03 4.983774
36     36 8.112964e-05 2.920667e-03 4.986695
37     37 6.490371e-05 2.401437e-03 4.989096
38     38 5.192297e-05 1.973073e-03 4.991069
39     39 4.153837e-05 1.619997e-03 4.992689
40     40 3.323070e-05 1.329228e-03 4.994018
41     41 2.658456e-05 1.089967e-03 4.995108
42     42 2.126765e-05 8.932412e-04 4.996002
43     43 1.701412e-05 7.316071e-04 4.996733
44     44 1.361129e-05 5.988970e-04 4.997332
45     45 1.088904e-05 4.900066e-04 4.997822
46     46 8.711229e-06 4.007165e-04 4.998223
47     47 6.968983e-06 3.275422e-04 4.998550
48     48 5.575186e-06 2.676089e-04 4.998818
49     49 4.460149e-06 2.185473e-04 4.999037
50     50 3.568119e-06 1.784060e-04 4.999215
51     51 2.854495e-06 1.455793e-04 4.999361
52     52 2.283596e-06 1.187470e-04 4.999479
53     53 1.826877e-06 9.682448e-05 4.999576
54     54 1.461502e-06 7.892109e-05 4.999655
55     55 1.169201e-06 6.430607e-05 4.999719
56     56 9.353610e-07 5.238022e-05 4.999772
57     57 7.482888e-07 4.265246e-05 4.999814
58     58 5.986311e-07 3.472060e-05 4.999849
59     59 4.789049e-07 2.825539e-05 4.999877
60     60 3.831239e-07 2.298743e-05 4.999900
61     61 3.064991e-07 1.869645e-05 4.999919
62     62 2.451993e-07 1.520236e-05 4.999934
63     63 1.961594e-07 1.235804e-05 4.999947
64     64 1.569275e-07 1.004336e-05 4.999957
65     65 1.255420e-07 8.160232e-06 4.999965
66     66 1.004336e-07 6.628619e-06 4.999971
67     67 8.034690e-08 5.383242e-06 4.999977
68     68 6.427752e-08 4.370871e-06 4.999981
69     69 5.142202e-08 3.548119e-06 4.999985
70     70 4.113761e-08 2.879633e-06 4.999988
71     71 3.291009e-08 2.336616e-06 4.999990
72     72 2.632807e-08 1.895621e-06 4.999992
73     73 2.106246e-08 1.537559e-06 4.999993
74     74 1.684997e-08 1.246898e-06 4.999995
75     75 1.347997e-08 1.010998e-06 4.999996
76     76 1.078398e-08 8.195824e-07 4.999997
77     77 8.627183e-09 6.642931e-07 4.999997
78     78 6.901746e-09 5.383362e-07 4.999998
79     79 5.521397e-09 4.361904e-07 4.999998
80     80 4.417118e-09 3.533694e-07 4.999998
81     81 3.533694e-09 2.862292e-07 4.999999
82     82 2.826955e-09 2.318103e-07 4.999999
83     83 2.261564e-09 1.877098e-07 4.999999
84     84 1.809251e-09 1.519771e-07 4.999999
85     85 1.447401e-09 1.230291e-07 4.999999
86     86 1.157921e-09 9.958120e-08 5.000000 ########### 
87     87 9.263367e-10 8.059129e-08 5.000000
88     88 7.410694e-10 6.521410e-08 5.000000
89     89 5.928555e-10 5.276414e-08 5.000000
90     90 4.742844e-10 4.268560e-08 5.000000
91     91 3.794275e-10 3.452790e-08 5.000000
92     92 3.035420e-10 2.792587e-08 5.000000
93     93 2.428336e-10 2.258353e-08 5.000000
94     94 1.942669e-10 1.826109e-08 5.000000
95     95 1.554135e-10 1.476428e-08 5.000000
96     96 1.243308e-10 1.193576e-08 5.000000
97     97 9.946465e-11 9.648071e-09 5.000000
98     98 7.957172e-11 7.798028e-09 5.000000
99     99 6.365737e-11 6.302080e-09 5.000000
100   100 5.092590e-11 5.092590e-09 5.000000
> plot(npx, type="l")
> plot(plex, type="l")

• 기댓값이 86번째 부터는 더이상 늘지 않고
• 계산된 값을 보면 5로 수렴한다.
• workout 예처럼 다섯가지의 순서가 있는 것이 아니라서
• 평균을 어떻게 나오나 보기 위해서 100까지 해 봤지만
• 86번째 이후에는 평균값이 더 늘지 않는다 (5에서)
• 따라서 위의 geometric distribution에서의 기대값은 5이다.

• 그런데 이 기대값은 아래처럼 구할 수 있다.
• 위에서 $X \sim \text{Geo}(p)$ 일때, 기대값은 $E(X) = \dfrac{1}{p}$
• 아래는 그 증명이다.

$(4)$, $(5)$에 대한 증명은 Mean and Variance of Geometric Distribution