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Bernoulli Distribution

성공과 실패로 이루어진 아웃풋으로 이루어진 실험을 베르누이 트라이얼이라고 한다. 아래의 가정을 갖는다.

  • 각 시행은 두가지 결과(성공 또는 실패) 중 한 가지만 나타난다.
  • 각 시행은 서로 독립이다.
  • 각 시행의 성공확률은 p로 동일하다.
    • 실패할 확률을 (1-p) 혹은 q로 표현

Bernoulli distribution은 아래와 같이 표기한다.

$$ X \sim Bern(p) $$

그런데, 이는 Binomial distribution에서 횟수인 n = 1인 케이스에 해당한다.

$$ X \sim B(1, p) = X \sim Bern(p) $$

Binomial distribution의 E(X) 값과 Var(X) 값의 증명에서 Bernoulli distribution을 이용하는 방법이 쉽게 이해 되므로 아래와 같이 E(X)오 Var(X)를 구한다.

X 0 1
P(X = x) q p

이는 $ X \sim Bern(p) $ 이므로

\begin{eqnarray*}
E(X) & = & \sum{n*p(x)} \\
& = & (1*p)+(0*q) \\
& = & p 
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
Var(X) & = & E((X - E(X))^{2}) \\
& = & \sum_{x}(x-E(X))^2p(x)   \ldots \ldots \ldots E(X) = p \\
& = & (0 - p)^{2}*q + (1 - p)^{2}*p  \\
& = & (0^2 - 2p0 + p^2)*q + (1-2p+p^2)*p \\
& = & p^2*(1-p) + (1-2p+p^2)*p \\
& = & p^2 - p^3 + p - 2p^2 + p^3 \\
& = & p - p^2 \\
& = & p(1-p) \\
& = & pq
\end{eqnarray*}

bernoulli_distribution.txt · Last modified: 2019/11/12 13:20 by hkimscil