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--- bernoulli_distribution [2019/11/04 10:56] – hkimscil
+++ bernoulli_distribution [2019/11/12 13:20] (current) – hkimscil
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 ====== Bernoulli Distribution ======
-성공과 실패로 이루어진 아웃풋으로 이루어진 실험을 베드누이 트라이얼이라고 한다. 아래의 가정을 갖는다.
+성공과 실패로 이루어진 아웃풋으로 이루어진 실험을 베르누이 트라이얼이라고 한다. 아래의 가정을 갖는다.
   * 각 시행은 두가지 결과(성공 또는 실패) 중 한 가지만 나타난다.
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   * 각 시행의 성공확률은 p로 동일하다.
     * 실패할 확률을 (1-p) 혹은 q로 표현
+Bernoulli distribution은 아래와 같이 표기한다.
+$$ X \sim Bern(p) $$
+그런데, 이는 Binomial distribution에서 횟수인 n = 1인 케이스에 해당한다.
+$$ X \sim B(1, p) = X \sim Bern(p) $$
+Binomial distribution의 E(X) 값과 Var(X) 값의 증명에서 Bernoulli distribution을 이용하는 방법이 쉽게 이해 되므로 아래와 같이 E(X)오 Var(X)를 구한다.
+| X | 0  | 1  |
+| P(X = x) | q  | p  |
+이는 $ X \sim Bern(p) $ 이므로
+\begin{eqnarray*}
+E(X) & = & \sum{n*p(x)} \\
+& = & (1*p)+(0*q) \\
+& = & p
+\end{eqnarray*}
+\begin{eqnarray*}
+Var(X) & = & E((X - E(X))^{2}) \\
+& = & \sum_{x}(x-E(X))^2p(x)   \ldots \ldots \ldots E(X) = p \\
+& = & (0 - p)^{2}*q + (1 - p)^{2}*p  \\
+& = & (0^2 - 2p0 + p^2)*q + (1-2p+p^2)*p \\
+& = & p^2*(1-p) + (1-2p+p^2)*p \\
+& = & p^2 - p^3 + p - 2p^2 + p^3 \\
+& = & p - p^2 \\
+& = & p(1-p) \\
+& = & pq
+\end{eqnarray*}