c:ms:2025:schedule:week06_t-test_and_anova_note
Table of Contents
Recap
recap. 중요
Sampling distribution and z-test
- Sampling distribution (The distribution of sample means)
- CLT
- $ \overline{X} \sim N(\mu, \displaystyle \frac{\sigma^2}{n}) $
- Standard deviation of sample means = Standard error
- $ \text{z score from the sampling distribution} = \frac{(\mu - \overline{X})}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{(\mu - \overline{X})}{\text{se}} = \frac{\text{difference due to the IV}}{\text{random error from the population mean}}$
- $ \text {z test} = \frac{\text{group difference}}{\text{random error}} $
- 위에서 구한 점수가 +-2를 넘지 않는다면, 이는 100중 95의 샘플평균이 나오는 구간 (standard error 를 위아래로 두 개 썼음)
- 따라서 이 샘플은 (+-2를 넘지 않는 샘플평균) 보통의 모집단의 성질과 동일한 집단에서 추출된 샘플이라고 판단할 수 있음 (이 부분이 영가설을 만드는 부분)
- 만약에 이렇게 해서 구한 z-score = 2.8 (샘플의 크기는 16) 이라고 하면 (+-2보다 크다면)
- 이 샘플평균이 위의 모집단에서 추출되어 나올 확률은 5%에 불과함.
- 따라서, 이 샘플평균은 위의 모집단이 아닌 다른 집단에서 추출된 샘플이라고 가정하는 것이 보다 합리적
- 참고. 위의 +-2는 정확히는 아래와 같음 (95% certainty를 기준으로 보면)
> qnorm(0.025) [1] -1.959964 > qnorm(0.975) [1] 1.959964
- 혹은
> pnorm(2.8, lower.tail = FALSE) [1] 0.00255513 > pnorm(-2.8) [1] 0.00255513 > # OR > pnorm(2.8, lower.tail = FALSE) * 2 [1] 0.005110261 >
- 아래 그림에서 빨간선 위부분이 0.00255513
- 파란선 아랫부분이 0.00255513
- 이 둘을 합친 부분이 0.005110261
- 즉, z-score 2.8 (혹은 -2.8 이) 나올 확률은 약 5/1000 라는 뜻 (빨간선 윗부분 + 파란선 아랫부분)
t-test
- 한편, t-test는 샘플의 숫자가 작을 때 (보통 n < ~ 30) z-test대신 하게 되는데
- z-score를 구하는 방법은 동일하다 (group difference / random error)
- 그러나, 샘플의 크기가 작기 때문에 +- 1.959964를 (+-2를) 보정한 값을 취하게 되는데
- 보정값은 샘플의 숫자마다 다르게 됨
> # 아래는 샘플사지즈가 16일 경우 > qt(0.025, df=15) [1] -2.13145 > qt(0.975, df=15) [1] 2.13145 > # 아래는 샘플사이즈가 51일 경우 > qt(0.025, df=50) [1] -2.008559 > qt(0.975, df=50) [1] 2.008559 >
- 혹은 계산한 t값이 2.8이 나왔다고 하면 (그리고 샘플사이즈가 16이라고 하면)
> pt(2.8, df=15, lower.tail = F) [1] 0.006729863 > pt(-2.8, df=15) [1] 0.006729863 > > # 이 둘을 더한 값이 양쪽 날개 바깥쪽의 probability > 2 * pt(2.8, df=15, lower.tail = F) [1] 0.01345973 >
- 한 편 z-test와 t-test가 있는데 모든 경우 t-test를 함
- 이유
> qt(0.025, df=15) [1] -2.13145 > qt(0.025, df=150000000000000) [1] -1.959964 > # 샘플사이즈가 충분히 크면 qt값과 qnorm값이 동일한 > # 1.96임을 주의 > qnorm(0.025) [1] -1.959964 >
- t-test in R
> rnorm2 <- function(n,mean,sd){ mean+sd*scale(rnorm(n)) } > set.seed(101) > # mu = 40 > n <- 30 > x <- rnorm2(n, 42, 2.5) > t.test(x, mu=40) One Sample t-test data: x t = 4.3818, df = 29, p-value = 0.0001407 alternative hypothesis: true mean is not equal to 40 95 percent confidence interval: 41.06648 42.93352 sample estimates: mean of x 42 >
t-test function in R
# see http://commres.net/wiki/r/t-test 문서 for detailed info # ?t.test for help # t.test(A, mu) # one sample t-test # t.test(A, B, var.equal = T) # two sample t-test # t.test(pre, post, paired=TRUE) # paired sample t-test (repeated measure)
Repeated measure t-test
혹은 One group pre and post test
# t-test 이해 확인 pre <- c(3,0,6,7,4,3,2,8,4) post <- c(5,2,5,7,10,9,7,11,8) mean(pre) mean(post) sd(pre) sd(post) diff.prepost <- pre-post mean.diff <- mean(diff.prepost) mean.diff sd.diff <- sd(diff.prepost) sd.diff # # remember t test = diff / rand error # se <- sd.diff/sqrt(length(diff.prepost)) se t.value <- mean.diff/se t.value df.value <- length(diff.prepost)-1 df.value # pt function is for getting percentage of # t score with df value pt(t.value, df=df.value) 2*pt(t.value, df=df.value) qt(.975, df=df.value) qt(.025, df=df.value) test.output <- t.test(pre,post, paired=T) test.output # for the reference # test.output$ str(test.output)
Repeated measure t-test: output
> # t-test 이해 확인
> pre <- c(3,0,6,7,4,3,2,8,4)
> post <- c(5,2,5,7,10,9,7,11,8)
> mean(pre)
[1] 4.111111
> mean(post)
[1] 7.111111
> sd(pre)
[1] 2.522124
> sd(post)
[1] 2.803767
>
> diff.prepost <- pre-post
> mean.diff <- mean(diff.prepost)
> mean.diff
[1] -3
> sd.diff <- sd(diff.prepost)
> sd.diff
[1] 2.5
>
> #
> # remember t test = diff / rand error
> #
> se <- sd.diff/sqrt(length(diff.prepost))
> se
[1] 0.8333333
> t.value <- mean.diff/se
> t.value
[1] -3.6
> df.value <- length(diff.prepost)-1
> df.value
[1] 8
>
> # pt function is for getting percentage of
> # t score with df value
> pt(t.value, df=df.value)
[1] 0.003491149
> 2*pt(t.value, df=df.value)
[1] 0.006982298
>
> qt(.975, df=df.value)
[1] 2.306004
> qt(.025, df=df.value)
[1] -2.306004
> test.output <- t.test(pre,post, paired=T)
> test.output
Paired t-test
data: pre and post
t = -3.6, df = 8, p-value = 0.006982
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-4.92167 -1.07833
sample estimates:
mean difference
-3
> # for the reference
> # test.output$
> str(test.output)
List of 10
$ statistic : Named num -3.6
..- attr(*, "names")= chr "t"
$ parameter : Named num 8
..- attr(*, "names")= chr "df"
$ p.value : num 0.00698
$ conf.int : num [1:2] -4.92 -1.08
..- attr(*, "conf.level")= num 0.95
$ estimate : Named num -3
..- attr(*, "names")= chr "mean difference"
$ null.value : Named num 0
..- attr(*, "names")= chr "mean difference"
$ stderr : num 0.833
$ alternative: chr "two.sided"
$ method : chr "Paired t-test"
$ data.name : chr "pre and post"
- attr(*, "class")= chr "htest"
>
Independent sample t-test
Two group independent t-test
#
#
rm(list=ls())
set.seed(101)
rnorm2 <- function(n,mean,sd){ mean+sd*scale(rnorm(n)) }
A <- rnorm2(16, 26, sqrt(1160/15))
B <- rnorm2(16, 19, sqrt(1000/15))
A <- c(A)
B <- c(B)
# from the above,
# the difference between the A and B means
# remember we try to find
# difference due to the treatment /
# / random chance of error
diff <- 26 - 19 # or
diff <- mean(A-B)
# for se
# we know that the situation refers to
# #2 se two independent samples t-test
# which is sqrt(pooled.var/na + pooled.var/nb)
SSa <- 1160
SSb <- 1000
n.a <- 16
n.b <- 16
df.a <- n.a - 1
df.b <- n.b - 1
# we know that we are testing the difference
# between two independent sample means.
# Hence, we need to use poole variance between
# the two group. See
# http://commres.net/wiki/t-test#t-test_%EB%B9%84%EA%B5%90
pooled.var <- (SSa + SSb) / (df.a + df.b)
se <- sqrt(pooled.var/n.a + pooled.var/n.b)
# Remember t test calculation is based on
# diff / random error
t.calculated <- diff / se
pooled.var
diff
se
t.calculated
# Now use t.test function for two group
# (independent sample) t-test
# with an assumption that variances of
# the two gorup are the same.
t.result <- t.test(A, B, var.equal = T)
t.result
# t.result$statistic = t.calculated
# t.result$p.value = probability level of
# wrong decision with the t calculated value
str(t.result)
t.result$statistic
t.result$p.value
# the above p.value can be obtained with
# pt function
p.value <- 2 * pt(-t.result$statistic, df = df.a + df.b) # or
p.value <- 2 * pt(t.result$statistic, df = df.a + df.b, lower.tail=F)
p.value
t.result$p.value
Independent sample t-test: output
> #
> #
> rm(list=ls())
> set.seed(101)
> rnorm2 <- function(n,mean,sd){ mean+sd*scale(rnorm(n)) }
> A <- rnorm2(16, 26, sqrt(1160/15))
> B <- rnorm2(16, 19, sqrt(1000/15))
> A <- c(A)
> B <- c(B)
> # from the above,
> # the difference between the A and B means
> # remember we try to find
> # difference due to the treatment /
> # / random chance of error
> diff <- 26 - 19 # or
> diff <- mean(A-B)
>
> # for se
> # we know that the situation refers to
> # #2 se two independent samples t-test
> # which is sqrt(pooled.var/na + pooled.var/nb)
>
> SSa <- 1160
> SSb <- 1000
> n.a <- 16
> n.b <- 16
> df.a <- n.a - 1
> df.b <- n.b - 1
>
> # we know that we are testing the difference
> # between two independent sample means.
> # Hence, we need to use poole variance between
> # the two group. See
> # http://commres.net/wiki/t-test#t-test_%EB%B9%84%EA%B5%90
> pooled.var <- (SSa + SSb) / (df.a + df.b)
> se <- sqrt(pooled.var/n.a + pooled.var/n.b)
> # Remember t test calculation is based on
> # diff / random error
> t.calculated <- diff / se
> pooled.var
[1] 72
> diff
[1] 7
> se
[1] 3
> t.calculated
[1] 2.333333
>
> # Now use t.test function for two group
> # (independent sample) t-test
> # with an assumption that variances of
> # the two gorup are the same.
> t.result <- t.test(A, B, var.equal = T)
> t.result
Two Sample t-test
data: A and B
t = 2.3333, df = 30, p-value = 0.02652
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.8731826 13.1268174
sample estimates:
mean of x mean of y
26 19
>
> # t.result$statistic = t.calculated
> # t.result$p.value = probability level of
> # wrong decision with the t calculated value
> str(t.result)
List of 10
$ statistic : Named num 2.33
..- attr(*, "names")= chr "t"
$ parameter : Named num 30
..- attr(*, "names")= chr "df"
$ p.value : num 0.0265
$ conf.int : num [1:2] 0.873 13.127
..- attr(*, "conf.level")= num 0.95
$ estimate : Named num [1:2] 26 19
..- attr(*, "names")= chr [1:2] "mean of x" "mean of y"
$ null.value : Named num 0
..- attr(*, "names")= chr "difference in means"
$ stderr : num 3
$ alternative: chr "two.sided"
$ method : chr " Two Sample t-test"
$ data.name : chr "A and B"
- attr(*, "class")= chr "htest"
> t.result$statistic
t
2.333333
> t.result$p.value
[1] 0.02652366
>
> # the above p.value can be obtained with
> # pt function
> p.value <- 2 * pt(-t.result$statistic, df = df.a + df.b) # or
> p.value <- 2 * pt(t.result$statistic, df = df.a + df.b, lower.tail=F)
>
> p.value
t
0.02652366
> t.result$p.value
[1] 0.02652366
>
>
>
t-test, different approach
중요
## ## different approach # # A combined group with group A and B # We call it group total # we can obtain its mean, variance, ss, df, etc. # A B dat <- c(A,B) dat mean.total <- mean(dat) var.total <- var(dat) # variance를 ms라고 부르기도 한다 ms.total <- var.total df.total <- length(dat)-1 ss.total <- var.total*df.total ss.total.check <- sum((dat-mean(dat))^2) mean.total var.total ms.total df.total ss.total ss.total.check # Now for each group mean.a <- mean(A) mean.b <- mean(B) mean.a mean.b # 그룹 간의 차이에서 나타나는 분산 # 수업시간에 설명을 잘 들을 것
hist(dat) abline(v = mean(dat), lty=2, lwd=3, col="red") abline(v = mean.a, lty=2, lwd=3, col="blue") abline(v = mean.b, lty=2, lwd=3, col="darkgreen") # or hist(A, xlim=c(0,50), ylim=c(0,8), col="red") hist(B, add=T, col=rgb(0, 1, 0, 0.5)) abline(v=mean(dat), col="black") abline(v=mean(A), col="red") abline(v=mean(B), col="darkgreen")
# mean.total 에서 그룹a의 평균까지의 차이를 구한 후 # 이를 제곱하여 그룹 A 멤버의 숫자만큼 더한다 = # 즉, SS를 구하는 방법. # 전체평균에서 그룹평균을 뺀 것의 제곱을 # 그룹 구성원 숫자만큼 더하는 것 # 그리고 이들을 다시 모두 더하여 # ss.between에 저장 length(A) * ((mean.total - mean.a)^2) length(B) * ((mean.total - mean.b)^2) ss.between <- length(A)*((mean.total - mean.a)^2) + length(B)*((mean.total - mean.b)^2) ss.between # df between group은 연구에 사용된 # 그룹의 숫자에서 1을 뺀 숫자 df.between <- 2 - 1 # 이 그룹 간 차이에 기인하는 분산 값은 ms.between <- ss.between / df.between # 한편 ss.a 와 ss.b는 각 그룹 내의 # 분산을 알아보기 위한 방법 ss.a <- var(A) * df.a ss.b <- var(B) * df.b ss.within <- ss.a + ss.b df.a <- length(A)-1 df.b <- length(B)-1 df.within <- df.a + df.b ms.within <- ss.within / df.within # 여기까지 우리는 # 전체분산 # 그룹간분산 # 그룹내분산 값을 # 구한 것 # ms.between은 그룹의 차이때문에 생긴 # 분산으로 IV 혹은 treatment 때문에 생기는 # 차이에 기인하는 분산이고 # ms.within은 각 그룹 내부에서 일어나는 분산이므로 # (variation이므로) 연구자의 관심사와는 상관이 없이 # 나타나는 random한 분산이라고 하면 # t test 때와 마찬가지로 # 그룹의 차이 / 랜덤 차이를 (에러 -> 분산은 에러라고도 했다) # 구해볼 수 있다. # 즉, 그룹갑분산은 사실 = diff (between groups) # 그리고 그룹내 분산은 사실 = re # 따라서 우리는 위 둘 간의 비율을 t test와 같이 # 살펴볼 수 있다 # 이것을 f.calculated 이라고 하고 f.calculated <- ms.between / ms.within # 이 값을 출력해 본다 f.calculated # 이 계산은 차이와 랜덤에러의 비율이 # df에 따라서 얼마나 되어야 그 차이가 # 충분히 큰 것인지를 판단하기 위해서 # 쓰인다. 여기서 df에는 두 가지 종류가 # 있다. df.between 그리고 df.within # percentage of f distribution with # df1 and df2 option # 이는 그림의 왼쪽을 나타내므로 # 차이가 점점 커지게 되는 오른쪽을 # 계산하기 위해서는 1-x를 취한다 f.calculated.pvalue <- 1-pf(f.calculated, df1=df.between, df2=df.within) f.calculated.pvalue
x <- rf(500000, df1 = df.between, df2 = df.within)
hist(x,
breaks = "Scott",
freq = FALSE,
xlim = c(0, 7),
ylim = c(0, 3),
xlab = "",
main = "Histogram for a F-distribution
with df1 = 1 and df2 = 30",
cex.main = 0.9
)
curve(df(x, df1 = df.between, df2 = df.within),
from = 0, to = 8, n = 5000,
col = "red", lwd = 2,
add = T)
abline(v=f.calculated, col="blue", lwd=2, lty="dotted")
f.calculated.pvalue
1 - f.calculated.pvalue
# 한편, t test를 했었을 때 (A, B 그룹을 가지고 independent # samples t-test를) 아웃 풋은 t.result # 그리고 f 계산에서의 p value는 t test에서의 p.value와 같다 f.calculated.pvalue t.result$p.value # 또한 # 여기엣 t 값은 t.result$statistic 으로 프린트아웃할 수 있다 # 이 값이 2.33333 이었다 t.result$statistic # 혹은 우리가 계산한 값이었던 # t.calculated t.calculated # 그런데 위의 값을 제곱한 값이 바로 f.calculated 값 f.calculated t.calculated^2 # 혹은 f.calculated 값을 제곱근한 값이 t.calculated sqrt(f.calculated) t.calculated # Now check this ss.total ss.between ss.within ss.total ss.between + ss.within # 한편 df는 # df.total 30 - 1 df.total df.between df.within df.total df.between + df.within
t-test, different approach: output
> ## > > ## different approach > # > > # A combined group with group A and B > # We call it group total > # we can obtain its mean, variance, ss, df, etc. > # > A [1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539 [6] 38.331534 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136 [11] 30.847396 15.575648 41.264878 7.808831 22.026979 [16] 22.527973 > B [1] 12.941146 21.270062 13.235378 1.931364 19.232163 [6] 27.231465 18.276359 7.308871 27.560815 7.799787 [11] 25.017185 19.639663 25.018756 25.302096 28.941002 [16] 23.293888 > dat <- c(A,B) > dat [1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539 [6] 38.331534 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136 [11] 30.847396 15.575648 41.264878 7.808831 22.026979 [16] 22.527973 12.941146 21.270062 13.235378 1.931364 [21] 19.232163 27.231465 18.276359 7.308871 27.560815 [26] 7.799787 25.017185 19.639663 25.018756 25.302096 [31] 28.941002 23.293888 > > mean.total <- mean(dat) > var.total <- var(dat) > # variance를 ms라고 부르기도 한다 > ms.total <- var.total > > df.total <- length(dat)-1 > ss.total <- var.total*df.total > ss.total.check <- sum((dat-mean(dat))^2) > > mean.total [1] 22.5 > var.total [1] 82.32258 > ms.total [1] 82.32258 > df.total [1] 31 > ss.total [1] 2552 > ss.total.check [1] 2552 > > # Now for each group > mean.a <- mean(A) > mean.b <- mean(B) > mean.a [1] 26 > mean.b [1] 19 > > # 그룹 간의 차이에서 나타나는 분산 > # 수업시간에 설명을 잘 들을 것 >
> hist(dat) > abline(v = mean(dat), lty=2, lwd=3, col="red") > abline(v = mean.a, lty=2, lwd=3, col="blue") > abline(v = mean.b, lty=2, lwd=3, col="darkgreen") > > # or > hist(A, xlim=c(0,50), ylim=c(0,8), col="red") > hist(B, add=T, col=rgb(0, 1, 0, 0.5)) > abline(v=mean(dat), col="black") > abline(v=mean(A), col="red") > abline(v=mean(B), col="darkgreen")
> # mean.total 에서 그룹a의 평균까지의 차이를 구한 후
> # 이를 제곱하여 그룹 A 멤버의 숫자만큼 더한다 =
> # 즉, SS를 구하는 방법.
> # 전체평균에서 그룹평균을 뺀 것의 제곱을
> # 그룹 구성원 숫자만큼 더하는 것
> # 그리고 이들을 다시 모두 더하여
> # ss.between에 저장
>
> length(A) * ((mean.total - mean.a)^2)
[1] 196
> length(B) * ((mean.total - mean.b)^2)
[1] 196
>
> ss.between <-
+ length(A)*((mean.total - mean.a)^2) +
+ length(B)*((mean.total - mean.b)^2)
> ss.between
[1] 392
> # df between group은 연구에 사용된
> # 그룹의 숫자에서 1을 뺀 숫자
> df.between <- 2 - 1
> # 이 그룹 간 차이에 기인하는 분산 값은
> ms.between <- ss.between / df.between
>
> # 한편 ss.a 와 ss.b는 각 그룹 내의
> # 분산을 알아보기 위한 방법
> ss.a <- var(A) * df.a
> ss.b <- var(B) * df.b
> ss.within <- ss.a + ss.b
> df.a <- length(A)-1
> df.b <- length(B)-1
> df.within <- df.a + df.b
> ms.within <- ss.within / df.within
>
> # 여기까지 우리는
> # 전체분산
> # 그룹간분산
> # 그룹내분산 값을
> # 구한 것
>
> # ms.between은 그룹의 차이때문에 생긴
> # 분산으로 IV 혹은 treatment 때문에 생기는
> # 차이에 기인하는 분산이고
>
> # ms.within은 각 그룹 내부에서 일어나는 분산이므로
> # (variation이므로) 연구자의 관심사와는 상관이 없이
> # 나타나는 random한 분산이라고 하면
>
> # t test 때와 마찬가지로
> # 그룹의 차이 / 랜덤 차이를 (에러 -> 분산은 에러라고도 했다)
> # 구해볼 수 있다.
>
> # 즉, 그룹갑분산은 사실 = diff (between groups)
> # 그리고 그룹내 분산은 사실 = re
> # 따라서 우리는 위 둘 간의 비율을 t test와 같이
> # 살펴볼 수 있다
>
>
> # 이것을 f.calculated 이라고 하고
> f.calculated <- ms.between / ms.within
> # 이 값을 출력해 본다
> f.calculated
[1] 5.444444
> # 이 계산은 차이와 랜덤에러의 비율이
> # df에 따라서 얼마나 되어야 그 차이가
> # 충분히 큰 것인지를 판단하기 위해서
> # 쓰인다. 여기서 df에는 두 가지 종류가
> # 있다. df.between 그리고 df.within
>
> # percentage of f distribution with
> # df1 and df2 option
> # 이는 그림의 왼쪽을 나타내므로
> # 차이가 점점 커지게 되는 오른쪽을
> # 계산하기 위해서는 1-x를 취한다
> f.calculated.pvalue <- 1-pf(f.calculated, df1=df.between, df2=df.within)
> f.calculated.pvalue
[1] 0.02652366
> # 한편, t test를 했었을 때 (A, B 그룹을 가지고 independent
> # samples t-test를) 아웃 풋은
> t.result
Two Sample t-test
data: A and B
t = 2.3333, df = 30, p-value = 0.02652
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.8731826 13.1268174
sample estimates:
mean of x mean of y
26 19
>
> # 그리고 f 계산에서의 p value는 t test에서의 p.value와 같다
> f.calculated.pvalue
[1] 0.02652366
> t.result$p.value
[1] 0.02652366
>
> # 또한
> # 여기엣 t 값은 t.result$statistic 으로 프린트아웃할 수 있다
> # 이 값이 2.33333 이었다
> t.result$statistic
t
2.333333
> # 혹은 우리가 계산한 값이었던
> # t.calculated
> t.calculated
[1] 2.333333
>
> # 그런데 위의 값을 제곱한 값이 바로 f.calculated 값
> f.calculated
[1] 5.444444
> t.calculated^2
[1] 5.444444
>
> # 혹은 f.calculated 값을 제곱근한 값이 t.calculated
> sqrt(f.calculated)
[1] 2.333333
> t.calculated
[1] 2.333333
>
> # Now check this
> ss.total
[1] 2552
> ss.between
[1] 392
> ss.within
[1] 2160
> ss.total
[1] 2552
> ss.between + ss.within
[1] 2552
>
> # 한편 df는
> # df.total 30 - 1
> df.total
[1] 31
> df.between
[1] 1
> df.within
[1] 30
> df.total
[1] 31
> df.between + df.within
[1] 31
>
>
ANOVA function in R
# ANOVA function in R A B tmp.ab <- data.frame(A, B) comb <- stack(tmp.ab) comb colnames(comb)[1] <- "values" colnames(comb)[2] <- "group" comb a.res <- aov(values ~ group, data=comb) a.res.sum <- summary(a.res) a.res.sum # 위에서 F value는 5.444 # 그리고 전체적인 아웃풋을 보면 # Df group 과 Df Residuals # Sum Sq group 과 Residuals # Mean Sq (MS) group 과 MS residuals # MS.group = ms.between # MS.within = ms.within # F value ms.between / ms.within f.calculated # 아래는 기존의 아웃풋에서 확인하는 것 str(a.res.sum) a.res.sum[[1]][1,4] sqrt(a.res.sum[[1]][1,4]) t.result$statistic
ANOVA function in R: output
> #
>
> A
[1] 20.994218 31.148068 16.961481 27.240217 28.354539
[6] 38.331534 31.914700 23.459605 35.361796 22.182136
[11] 30.847396 15.575648 41.264878 7.808831 22.026979
[16] 22.527973
> B
[1] 12.941146 21.270062 13.235378 1.931364 19.232163
[6] 27.231465 18.276359 7.308871 27.560815 7.799787
[11] 25.017185 19.639663 25.018756 25.302096 28.941002
[16] 23.293888
> comb <- stack(list(a=A, b=B))
> comb
values ind
1 20.994218 a
2 31.148068 a
3 16.961481 a
4 27.240217 a
5 28.354539 a
6 38.331534 a
7 31.914700 a
8 23.459605 a
9 35.361796 a
10 22.182136 a
11 30.847396 a
12 15.575648 a
13 41.264878 a
14 7.808831 a
15 22.026979 a
16 22.527973 a
17 12.941146 b
18 21.270062 b
19 13.235378 b
20 1.931364 b
21 19.232163 b
22 27.231465 b
23 18.276359 b
24 7.308871 b
25 27.560815 b
26 7.799787 b
27 25.017185 b
28 19.639663 b
29 25.018756 b
30 25.302096 b
31 28.941002 b
32 23.293888 b
> colnames(comb)[1] <- "values"
> colnames(comb)[2] <- "group"
> comb
values group
1 20.994218 a
2 31.148068 a
3 16.961481 a
4 27.240217 a
5 28.354539 a
6 38.331534 a
7 31.914700 a
8 23.459605 a
9 35.361796 a
10 22.182136 a
11 30.847396 a
12 15.575648 a
13 41.264878 a
14 7.808831 a
15 22.026979 a
16 22.527973 a
17 12.941146 b
18 21.270062 b
19 13.235378 b
20 1.931364 b
21 19.232163 b
22 27.231465 b
23 18.276359 b
24 7.308871 b
25 27.560815 b
26 7.799787 b
27 25.017185 b
28 19.639663 b
29 25.018756 b
30 25.302096 b
31 28.941002 b
32 23.293888 b
>
> a.res <- aov(values ~ group, data=comb)
> a.res.sum <- summary(a.res)
> a.res.sum
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group 1 392 392 5.444 0.0265 *
Residuals 30 2160 72
---
Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> # 위에서 F value는 5.444
> # 그리고 전체적인 아웃풋을 보면
> # Df group 과 Df Residuals
> # Sum Sq group 과 Residuals
> # Mean Sq (MS) group 과 MS residuals
>
> # MS.group =
> ms.between
[1] 392
>
> # MS.within =
> ms.within
[1] 72
>
> # F value
> ms.between / ms.within
[1] 5.444444
> f.calculated
[1] 5.444444
>
> # 아래는 기존의 아웃풋에서 확인하는 것
> str(a.res.sum)
List of 1
$ :Classes ‘anova’ and 'data.frame': 2 obs. of 5 variables:
..$ Df : num [1:2] 1 30
..$ Sum Sq : num [1:2] 392 2160
..$ Mean Sq: num [1:2] 392 72
..$ F value: num [1:2] 5.44 NA
..$ Pr(>F) : num [1:2] 0.0265 NA
- attr(*, "class")= chr [1:2] "summary.aov" "listof"
> a.res.sum[[1]][1,4]
[1] 5.444444
> sqrt(a.res.sum[[1]][1,4])
[1] 2.333333
> t.result$statistic
t
2.333333
>
>
>
c/ms/2025/schedule/week06_t-test_and_anova_note.txt · Last modified: by hkimscil