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+++ estimated_standard_deviation [2023/09/13 11:00] (current) – hkimscil
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ====== Why n-1 ======
-Why we use n-1 instead of n in getting standard deviation \\
+문제.
-http://www.qc.edu.hk/math/Advanced%20Level/Standard_deviation.htm \\
-우선, Expected value (기대값)와 Variance (분산)의 연산은 아래와 같이 계산될 수 있다.
-<WRAP box 450px>
+우리는 모집단의 (population) 평균값을 알고 있다면 샘플의 분산값을 다음과 같이 구할 수 있다. 그리고, 이것을 모집단의 분산값으로 추정할 수 있다.
-X,Y are Independent variables.
 \begin{eqnarray*}
-E[aX] &=& a E[X] \\
+\hat{\sigma}^{2} = \dfrac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}} {n}
-E[X+Y] &=& E[X] + E[Y] \\
-Var[aX] &=& a^{\tiny{2}} Var[X] \\
-Var[X+Y] &=& Var[X] + Var[Y]
 \end{eqnarray*}
-</WRAP>
+그러나, 현재 우리가 가지고 있는 것은 샘플 밖에 없다. 즉, 모집단의 평균은 알지 못하는 상태이기에 모집단 분산을 추정하는 계산에 사용할 수 없다. 따라서 샘플의 평균을 사용한다. 그런데, 샘플의 평균을 사용할 때는 분모에 N 대신에 n-1을 사용해야 한다. 왜 n-1을 사용하는것이 모집단의 분산값 추정에 도움이 되는가가 문제이다.
-이때, 한 샘플의 평균값을 $X$ 라고 하면, 평균들의 합인 $S_k$ 는
+\begin{eqnarray*}
+\hat{\sigma}^{2} \neq \frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}} {n}
+\end{eqnarray*}
-$$ S_{k} = X_1 + X_2 + . . . + X_k $$
+\begin{eqnarray*}
+\hat{\sigma}^{2} = \frac {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}} {n-1}
+\end{eqnarray*}
-와 같다.
+이 모집단의 분산값을 ($\sigma^2$) 대표함을 알아보는 것이 문제이다.
-이렇게 얻은 샘플들(k 개의)의 평균인 $A_k$ 는,
-$$A_k = \displaystyle \frac{(X_1 + X_2 + . . . + X_k)}{k} = \frac{S_{k}}{k} $$
+====== 직관적 이해 ======
+위에서 n-1 을 사용하기 위해서 추정하는 것은
-라고 할 수 있다.
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{i=1}^{n} {(X_{i}-\mu)} > \sum_{i=1}^{n} {(X_{i}-\overline{X})}
+\end{eqnarray*}
-이때,
+라는 점이다. 따라서 n 대신 n-1로 나눠주어서 "작은 값을 갖는 경향의 문제점을" 상쇄한다.
-$$
+아래는 20개의 원소를 갖는 k 집합을 예이다.
-\begin{align*}
+''k = {6, 4, 16, 12, 4, 13, 18, 16, 7, 11, 5, 11, 9, 11, 18, 1, 7, 2, 5, 3}''
-E[S_k] & = E[X_1 + X_2 + . . . +X_k] \\
-   & = E[X_1] + E[X_2] + . . . + E[X_k] \\
-   & = \mu + \mu + . . . + \mu = k * \mu \\
-\end{align*}
-$$
-$$
-\begin{align*}
-Var[S_k] & = Var[X_1 + X_2 + . . . +X_k]  \\
-     & = Var[X_1] + Var[X_2] + \dots + Var[X_k] \\
-     & = k * \sigma^2
-\end{align*}
-$$
-이다.
+우리는 이 집합의 평균과 분산값이 각각 8.95 와 27.2475 임을 알고 있다. 이 때 분산값은 24.2475는 SS값을 구한 후, 이를 N으로 나눈 값이다.
-그렇다면, $A_k$ 에 관한 기대값과 분산값은:
+위의 모집단에서 3개의 샘플을 취하여 S1 = {4, 11, 18}을 얻었고, 그 평균값은 11이다. 위의 샘플에서 모집단의 분산값을 예측한다고 할 때, 모집단의 (N=20인) 평균값을 안다고 하면 우리는
+| s1 | mu | deviation score | ds<sup>2</sup>  |
+| 4  | 8.95  | -4.95  | 24.5025   |
+| 11  | 8.95  | 2.05  | 4.2025   |
+| 18  | 8.95  | 9.05  | 81.9025   |
+|    |    | SS<sub>pop</sub>  | 110.6075  |
-$$
+SS<sub>pop</sub> 값으로 110.6075 값을 얻는다. 그러나, 위의 경우는 특별한 예이고 대개의 경우 우리는 모집단의 평균값을 알지 못한다. 이 경우 우리는 3개로 취한 샘플의 평균값을 이용하여 SS 부분을 구하게 된다 (SS<sub>samp</sub>).
-\begin{align*}
-E[A_k] & = E[\frac{S_k}{k}] \\
- & = \frac{1}{k}*E[S_k] \\
- & = \frac{1}{k}*k*\mu = \mu
-\end{align*}
-$$
-이고,
+| s1 | $\overline{X}$ | deviation score | ds<sup>2</sup>  |
+| 4  | 11  | -7  | 49   |
+| 11  | 11  | 0  | 0   |
+| 18  | 11  | 7  | 49   |
+|    |    | SS<sub>samp</sub>  | 98  |
-$$
+이렇게 얻은 SS<sub>samp</sub>값은 98인데, 이 값은 SS<sub>pop</sub> 값보다 작다. 아래의 R code는 이를 확인해 보는 작업이다. 각각의 샘플에서 (n=3) 취한 SS<sub>samp</sub> 값은 SS<sub>pop</sub>값보다 작게 된다. 따라서 이 작은 값을 상쇄하기 위해서 n 대신 n-1 로 SS<sub>samp</sub> 값을 나누어 준다.
-\begin{align*}
-Var[A_k] & = Var[\frac{S_k}{k}] \\
- & = \frac{1}{k^2} Var[S_k] \\
- & = \frac{1}{k^2}*k*\sigma^2 \\
- & = \frac{\sigma^2}{k} \nonumber
-\end{align*}
-$$
-라고 할 수 있다.
-한편, 분산값은
-$$
+<code>
-\begin{align*}
+############
-Var[X] & = {E{(X-\mu)^2}} \\
+set.seed(1010)
-& = E[(X^2 - 2 X \mu + \mu^2)] \\
+n.pop <- 20
-& = E[X^2] - 2 \mu E[X] + E[\mu^2] \\
+k <- sample(1:20, n.pop, replace = T)
-& = E[X^2] - 2 \mu E[X] + E[\mu^2], \;\; \text{because E[X]=} \mu \text{, \; E[} \mu^2 \text{] = } \mu^2, \\
+k
-& = E[X^2] - 2 \mu^2 + \mu^2   \\
+k.mean <- mean(k)
-& = E[X^2] - \mu^2 \;\;\; \dots \dots \dots \dots \dots [1]
+k.pvar <- var(k)*((n.pop-1)/n.pop) ## population var(k)
-\end{align*}
+k.mean
-$$
+k.pvar
-라고 할때,
+############
+n.samp <- 3
+ks <- sample(k, n.samp)
+ks
+ks.mean <- mean(ks)
+ks.var <- var(ks)
+ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+############
+ks-k.mean
+ks-ks.mean
+sum((ks-k.mean)^2)
+sum((ks-ks.mean)^2)
+</code>
+<code>
+############
+set.seed(3) # another sample
+n.samp <- 3
+ks <- sample(k, n.samp)
+ks
+ks.mean <- mean(ks)
+ks.var <- var(ks)
+ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+############
+ks-k.mean
+ks-ks.mean
+sum((ks-k.mean)^2)
+sum((ks-ks.mean)^2)
-$ Var[X + Y] $ 를 구하고자 한다면, 우선
+############
+set.seed(5) # another sample
+n.samp <- 3
+ks <- sample(k, n.samp)
+ks
+ks.mean <- mean(ks)
+ks.var <- var(ks)
+ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+############
+ks-k.mean
+ks-ks.mean
+sum((ks-k.mean)^2)
+sum((ks-ks.mean)^2)
-$$
+############
-\begin{align}
+set.seed(7) # another sample
-\displaystyle E[X] = \mu_{X} = a \\
+n.samp <- 3
-\displaystyle E[Y] = \mu_{Y}  = b
+ks <- sample(k, n.samp)
-\end{align}
+ks
-$$
+ks.mean <- mean(ks)
+ks.var <- var(ks)
+ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+############
+ks-k.mean
+ks-ks.mean
+sum((ks-k.mean)^2)
+sum((ks-ks.mean)^2)
+</code>
-이라고 할 때,
+<code>
+> ############
+> set.seed(1010)
+> n.pop <- 20
+> k <- sample(1:20, n.pop, replace = T)
+> k
+ [1]  6  4 16 12  4 13 18 16  7 11  5 11  9 11 18  1  7  2  5  3
+> k.mean <- mean(k)
+> k.pvar <- var(k)*((n.pop-1)/n.pop) ## population var(k)
+> k.mean
+[1] 8.95
+> k.pvar
+[1] 27.2475
+> ############
+> n.samp <- 3
+> ks <- sample(k, n.samp)
+> ks
+[1] 11 13 18
+> ks.mean <- mean(ks)
+> ks.var <- var(ks)
+> ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+> ############
+> ks-k.mean
+[1] 2.05 4.05 9.05
+> ks-ks.mean
+[1] -3 -1  4
+> sum((ks-k.mean)^2)
+[1] 102.5075
+> sum((ks-ks.mean)^2)
+[1] 26
+</code>
+<code>
+> ############
+> set.seed(3) # another sample
+> n.samp <- 3
+> ks <- sample(k, n.samp)
+> ks
+[1]  4 11 18
+> ks.mean <- mean(ks)
+> ks.var <- var(ks)
+> ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+> ############
+> ks-k.mean
+[1] -4.95  2.05  9.05
+> ks-ks.mean
+[1] -7  0  7
+> sum((ks-k.mean)^2)
+[1] 110.6075
+> sum((ks-ks.mean)^2)
+[1] 98
+>
-$$
+> ############
-\begin{align*}
+> set.seed(5) # another sample
-Var [X + Y] & = \displaystyle E[(X+Y)^2] - (a+b)^2 \\
+> n.samp <- 3
-    & = E[(X^2 + 2XY + Y^2)] - (a^2 + 2ab - b^2) \;\cdots\;\cdots\; \cdots\; [a]
+> ks <- sample(k, n.samp)
-\end{align*}
+> ks
-$$
+[1]  4  5 18
+> ks.mean <- mean(ks)
+> ks.var <- var(ks)
+> ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+> ############
+> ks-k.mean
+[1] -4.95 -3.95  9.05
+> ks-ks.mean
+[1] -5 -4  9
+> sum((ks-k.mean)^2)
+[1] 122.0075
+> sum((ks-ks.mean)^2)
+[1] 122
-그런데
+> ############
+> set.seed(7) # another sample
+> n.samp <- 3
+> ks <- sample(k, n.samp)
+> ks
+[1] 11  5 18
+> ks.mean <- mean(ks)
+> ks.var <- var(ks)
+> ks.pvar <- var(ks)*((n.samp-1)/n.samp)
+> ############
+> ks-k.mean
+[1]  2.05 -3.95  9.05
+> ks-ks.mean
+[1] -0.3333333 -6.3333333  6.6666667
+> sum((ks-k.mean)^2)
+[1] 101.7075
+> sum((ks-ks.mean)^2)
+[1] 84.66667
+>
+</code>
+위의 코드에서
+''sum%%(%%%%(%%ks-k.mean)^2) '' = $\sum({X_{i}-\mu})^{2}$
+''sum%%(%%%%(%%ks-ks.mean)^2) '' = $\sum({X_{i}-\overline{X}})^{2}$
+인데, 위의 케이스를 보면
-$ E[XY] = E[X] E[Y], $ , $X$ 와 $Y$ 가 서로 독립적 (independent) 이므로
+''sum%%(%%%%(%%ks-k.mean)^2) '' > ''sum%%(%%%%(%%ks-ks.mean)^2) ''  즉,
-$$ E[XY] = a b $$
+$\sum({X_{i}-\mu})^{2} > \sum({X_{i}-\overline{X}})^{2}$ 이다.
+이를 그림으로 설명하면 다음과 같다. 아래에서 녹색의 세로선은 모집단의 평균값이고, 붉은색의 세로선은 3개로 이루어진 샘플의 평균값이다. 그리고 녹색 가로선은 3개의 샘플요소와 모집단평균과의 ($\mu$) 차이값들이고, 적색가로선은 3개의 샘플요소와 샘플평균과의 ($\overline{X}$) 차이값이다. 이 차이값들을 모아서 길이를 비교한 것이 그래프의 하단이다. 적색가로선 세개의 합이 녹색가로선 세개의 합보다 작다.
+{{:pasted:20200412-002825.png?800}}
-이에 따라 위의 $ [a] $ 에서,
+====== 실험적, 수학적 이해 ======
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}  \gt \sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\overline{X})}
+\end{eqnarray*}
+를 수학적으로 이해하는 방법이다. 우선 실험을 통해서 원하는 것이 무엇인가를 설명한다. 우선 R에서 평균이 20인 (sd = 4) 모집단을 만든다.
-$$
+<code>
-\begin{align*}
+## population parameter 지정
- Var [X + Y] & =  E[(X^2 + 2XY + Y^2)] - (a^2 + 2ab - b^2) \\
+n.p <- 10000
- & = E[X^2] - a^2 + E[Y^2] - b^2 \\
+mean.p <- 20
- & = Var[X] + Var[Y]
+sd.p <- 4
-\end{align*}
+set.seed(23)
-$$
+p <- rnorm(n.p, mean=mean.p, sd=sd.p)
+p <- round(p)
+hist(p, freq=F)
+curve(dnorm(x, mean=mean(p), sd=sd(p)), add=TRUE, col="blue")
+abline(v=mean.p,lwd=3,lty=2, col="red")
+</code>
+  * 모집단에서 평균이 23인 4개의 원소를 샘플로  취한다. 그리고,
+  * 1부터 40까지의 집합을 만들어 range에 기록해두고 (range = {1,2,3,4,. . .,40}, 이 range에는 위 샘플의 평균인 23이 포함되어 있다)
+  * $\sum{(x-\overline{x})}$ 에서 $\overline(x)$ 대신 1:40 까지의 숫자를 넣어 결과를 구해본다. 즉, SS파트를 구해보는데 샘플의 평균인 23외에 1에서 40까지의 숫자를 대입하여 SS값을 구하여 기록한다는 뜻이다.
+  * 이를 plot한다.
+<code>
+set.seed(1953)
+x <-  sample(p, 4)
+x
+mean(x)
-한편,
+range <- seq(1:40)
+ss  <- rep (NA, length(range))
+for (i in range) {
+    ss[i] <- sum((x-range[i])^2)
+}
+data <- data.frame(range,ss)
+data
+min(data$ss) ## ss값이 최소일 때의 x값을 살펴보자 (=mean(x)) = 23
+plot(data, lty=1, lwd=1)
+abline(v=mean(x),col="red")
+</code>
-$$
+{{:pasted:20200504-202759.png}}
-\begin{align*}
+<code>
- \overline{X} & = \frac { \displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i)} {n} \\
+> n.p <- 10000
-  s_{\overline{X}} & = \frac {\displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2} {n-1}
+> mean.p <- 20
-\end{align*}
+> sd.p <- 4
-$$
+> set.seed(23)
+> p <- rnorm(n.p, mean=mean.p, sd=sd.p)
+> p <- round(p)
+> head(p)
+[1] 21 18 24 27 24 24
+> hist(p, freq=F)
+> curve(dnorm(x, mean=mean(p), sd=sd(p)), add=TRUE, col="blue")
+> abline(v=mean.p,lwd=3,lty=2, col="red")
+>
-그리고 Sampling distribution of mean과 관련된 샘플 평균들에 대한 기대값 $E[\overline{X}]$ 과 $Var[\overline{X}]$ 는 각각
+# 모집단 평균 = 20, sd=4
+> set.seed(1953)
+> x <-  sample(p, 4)
+> x
+[1] 27 21 21 23
+> mean(x)
+[1] 23
+>
+> range <- seq(1:40)
+> ss  <- rep (NA, length(range))
+> for (i in range) {
++     ss[i] <- sum((x-range[i])^2)
++ }
+> data <- data.frame(range,ss)
+> data
+   range   ss
+      1 1960
+      2 1788
+      3 1624
+      4 1468
+      5 1320
+      6 1180
+      7 1048
+      8  924
+      9  808
+    10  700
+    11  600
+    12  508
+    13  424
+    14  348
+    15  280
+    16  220
+    17  168
+    18  124
+    19   88
+    20   60
+    21   40
+    22   28
+    23   24
+    24   28
+    25   40
+    26   60
+    27   88
+    28  124
+    29  168
+    30  220
+    31  280
+    32  348
+    33  424
+    34  508
+    35  600
+    36  700
+    37  808
+    38  924
+    39 1048
+    40 1180
+> min(data$ss) ## ss값이 최소일 때의 x값을 살펴보자 (=mean(x)) = 23
+[1] 24
+> plot(data, lty=1, lwd=1)
+> abline(v=mean(x),col="red")
-$$
+</code>
-\begin{align*}
-E[\overline{X}] & = E[\frac{1}{n} \sum_{\tiny{i=1}}^{\tiny{n}} \overline{X_i}] \\
- & = \frac{1}{n} n \mu \\
- & = \mu \;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots \;[2] \\
-Var[\overline{X}] & = Var[\frac{1}{n} \sum_{\tiny{i=1}}^{\tiny{n}} \overline{X_i}] \\
- & = \frac{1}{n^2} n \sigma^2 \\
- & = \frac{\sigma^2}{n} \;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots \;[3]
-\end{align*}
-$$
+{{:pasted:20200504-203916.png}}
-같은 논리로 sampling distribution of sample variance를 구한다고 하면, 그리고 이를 구할 때 n을 사용한다고 하면,
+평균이  20, 표준편차가 4인 집단에서 4개의 샘플을 취하여 그 평균을 구하고, 그 평균을 이용하 SS 부분을 (Sum of Square) 구한다고 했을 때, 평균외에 다른 점수를 이용했을 때 어떻게 되는가를 본 것이다 (range <- seq(1:40)과 같이). ss값이 가장 작았을 때의 x값을 보면 샘플의 평균값임을 알  수 있다.
+마지막 그래프에서 가장 작은 기울기값을 갖는 v 값을 구한다고 (derivatives) 가정하고 이해를 하면 수학적으로 이해할 수 있다. ((see https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-introduction.html))
+{{:pasted:20200504-223320.png}}
+\begin{eqnarray*}
+\dfrac{\text{d}}{\text{dv}} \dfrac{\sum{(x-v)^2}}{n} & = &  \dfrac {\sum{2(x-v)*(-1)}}{n} \\
+& = & \dfrac{\sum{-2(x-v)}}{n} \\
+& = & -\dfrac{2}{n} \sum{(x-v)} \\
+\end{eqnarray*}
+위의 식이 0이 (기울기가 0이 되는 부분) 될 때의 v 값을 찾아야 하므로
+\begin{eqnarray*}
+-\dfrac{2}{n} \sum{(x-v)} & = & 0 \\
+\sum{(x-v)} & = & 0 \\
+\sum{x} - n*v & = & 0 \\
+n*v & = & \sum{x} \\
+v & = & \dfrac {\sum{x}}{n}  \\
+\end{eqnarray*}
+위에 따르면, 우리가  찾는 v 값은 샘플의 평균값이 ($\frac {\sum{x}}{n}$) 된다. 따라서, 평균값으로 SS값을 구하게 되면 언제나 가장 작은  값을 취하게 되는 결과를 갖는다. 이렇게 작은 값을 갖는 현상을 보정하려고 n 대신에 n보다 조금 작은 숫자인 n-1을 가지고 SS 부분을 나누어 준다.
+그렇다면  왜 n-2 혹은 n-(1/2)가 아니고  n-1인가? 이를 수학적인 증명을 통해서 살펴보면 다음 장과 같다.
+====== 수학적 증명 ======
+우선,
+\begin{eqnarray*}
+Var[X] & = & E[(X-\mu)^{2}] \\
+       & = & E[(X^{2} - 2 X \mu + \mu^{2})] \\
+& = & E[X^{2}] - 2 \mu E[X] + E[\mu^2] \\
+& = & E[X^{2}] - 2 \mu E[X] + E[\mu^{2}], \;\; \text{because}\; E[X] = \mu \text{, } \; E[\mu^2] = \mu^2, \\
+& = & E[X^{2}] - 2 \mu^{2} + \mu^{2}   \\
+& = & E[X^{2}] - \mu^{2}
+\end{eqnarray*}
+이므로
+\begin{align}
+E\left[X^2\right] & = Var\left[X\right] + \mu^2 \nonumber \\
+& = \sigma^{2} + \mu^2 \\
+\end{align}
+마찬가지로
+\begin{align}
+Var \left[ \overline{X}\right] & =  E \left[\overline{X}^2 \right] - \left[E(\overline{X})\right]^2 \nonumber \\
+& = E\left[\overline{X}^{2}\right] - \mu^{2} \nonumber
+\end{align}
+따라서
+\begin{align}
+E\left[\overline{X}^{2}\right]  & = Var\left[\overline{X}\right] + \mu^2 \nonumber \\
+& = \frac {\sigma^{2}} {n} + \mu^{2}
+\end{align}
+참고로 위에서 $Var\left[\overline{X}\right] = \dfrac {\sigma^{2}} {n} $ 에 해당하는 설명은 [[:mean and variance of the sample mean]] 문서를 볼 것.
+----
+참고로 Expected value (기대값)와 Variance (분산)의 연산에 과한 법칙으로는 (([[:statistical review]]참조))
+<WRAP box 450px>
+X,Y are Independent variables.
-$$
 \begin{align*}
-E[s^2] & = E \left [ \frac{1}{\large n} \sum_{i=1}^n (X_i- \overline{X})^2 \right ] \\
+E[aX] & = a E[X] \\
-& = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 2\overline{X}X_i + \overline{X}^2) \right ] \\
+E[X+Y] & = E[X] + E[Y] \\
-& = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 - \sum_{i=1}^n 2\overline{X}X_i + \sum_{i=1}^n \overline{X}^2 \right ] \\
+Var[aX] & = a^{\tiny{2}} Var[X] \\
-& = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 - 2n\overline{X}^2 +n\overline{X}^2 \right ] \\
+Var[X+Y] & = Var[X] + Var[Y]
-& = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2 \right ]  \\
-& = \frac{1}{\large n} E \left [ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right ] - E \left [ \overline{X}^2 \right ] \;\cdots\;\cdots\; [4]
 \end{align*}
-$$
+</WRAP>
+----
+우리가 알고자 하는 것은 아래의 식이 population의 parameter인 $\sigma^{2}$ 의 값과 같은가이다.
+\begin{align*}
+E[s^{2}] & = E \left[\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{n-1} \right] \qquad
+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \;\; (a)  \\
+& = \sigma^{2}
+\end{align*}
-위에서
+위의 식에서 일부만을 추출해서 먼저 보자.
-$$
 \begin{align*}
-\sum 2 X_i \overline{X} & = 2 \sum X_i \overline{X} \\
+E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = E \left[\sum(X_{i}^{2}- 2 X_{i} \overline{X} + \overline{X}^{2})\right] \\
-& = 2 n \overline{X} * \overline{X} \;\; \text {because} \;\; \overline{X} = \frac {\sum X_i} {n} \;\;\\
+& = E \left[ \sum{X_{i}^2} - \sum{2X_{i} \overline{X}} + \sum {\overline{X^2}}  \right]  \\
-& = 2 n \overline{X}^2
+& = E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \sum{X_{i}} + \sum{\overline{X^2}}  \right]  \\
+& = E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \sum{X_{i}} + n \overline{X^2} \right]  \\
+& = E \left[ \sum{X_{i}^2} - 2 \overline{X} \cdot (n \overline{X}) + n \overline {X^2} \right] \\
+& = E \left[ \sum{X_{i}^2} - n \overline{X}^2 \right] \\
+& = \sum {E\left(X_{i}^2\right)} - E\left(n\overline{X}^2\right)  \\
+& = \sum {E\left(X_{i}^2\right)} - n E\left(\overline{X}^2\right)  \;\;\; \dots\dots\dots\dots\dots (3)
 \end{align*}
-$$
+한 편, 위의 $(1), (2)$에서
-여기서 [1]에서의 결과를 적용하면,
+<WRAP box>
+\begin{align*}
+E\left[X_{i}^{2}\right] & = \sigma^{2} + \mu^2 \;\;\; \dots\dots\dots\dots\dots (1) \\
+E\left[\overline{X}^{2}\right] & = \dfrac {\sigma^{2}} {n} + \mu^{2} \;\;\; \dots\dots\dots\dots\dots (2)
+\end{align*}
+</WRAP>
-$$ E \left [ \displaystyle \sum_{i=1}^n  X_i^2 \right ] = Var[X_i] + \mu = \sigma^2 + \mu$$
+위의 $(1), (2)$를 $(3)$에 대입해보면
-$$ E \left [ \displaystyle \overline{X}^2 \right ] = Var \left [\overline{X} \right ] + \mu = \frac{\sigma^2}{n} + \mu $$ 이므로 [4]의 식은
-$$
 \begin{align*}
-E[s^2] & = \frac{1}{n} (\sigma^2+\mu) - ( \frac{\sigma^2}{n} + \mu) \\
+E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = \sum{E\left(X_{i}^{2}\right)} - n E\left(\overline{X}^{2}\right)  \\
-& = \frac{1}{n} \left [n(\sigma^2+\mu) - n(\frac{\sigma^2}{n} + \mu) \right ] \\
+& = \sum{\left(\sigma^{2} + \mu^{2}\right)} - n \left(\dfrac{\sigma^2}{n} + \mu^2\right) \\
-& = \frac{1}{n} \left [n \sigma^2 - \sigma^2 \right ] \\
+& = n\sigma^{2} + n\mu^{2} - \sigma^{2} - n\mu^{2} \\
-& = \frac{(n-1)\sigma^2}{n} \;\cdots\;\cdots\;\cdots\; [5]
+& = \left(n-1\right) \sigma^{2}
 \end{align*}
-$$
+위는 식 (a)의 일부이므로 이를 온전한 식에 대입해보면,
+\begin{eqnarray*}
+E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] & = & (n-1) \sigma^{2} \\
+\end{eqnarray*}
-즉 sample에서 구하는 variance로 모집단의 variance를 구하는데 오차가 보인다. 이를 모집단의 variance와 근사하게 하기 위해서
+\begin{eqnarray*}
+E[s^{2}] & = & E \left[ \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{n-1} \right] \\
+& = & \dfrac{1}{n-1} E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] \\
+& = & \dfrac{1}{n-1} (n-1) \sigma^{2} \\
+& = & \sigma^{2}
+\end{eqnarray*}
+그러므로, **n-1로 나눠 준 샘플분산의 (sample's variance) 기대값은**
+\begin{eqnarray*}
+E(s^2) = \sigma^{2}
+\end{eqnarray*}
+----
+만약에 우리가 population의 variance를 구하듯이 n을 이용한다고 하면,
+\begin{eqnarray*}
+E[s^{2}] & = & E \left[ \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}} {n} \right], \;\;\; \text{note that we use n instead of n-1} \\
+& = & \dfrac{1}{n} E \left[\sum{(X_{i}-\overline{X})^{2}} \right] \\
+& = & \dfrac{1}{n} (n-1) \sigma^{2} \\
+& = & \left(\dfrac{n-1}{n}\right) \sigma^{2} \\
+\end{eqnarray*}
-$ \displaystyle \frac{n}{n-1} $
+즉, 원래 $\sigma^2$ 값보다 조금 작은 값을 갖게 될 것이다 (이를 biased result라고 한다).
-을 [5]에 곱하면,
-$ E[S^2] = \displaystyle \frac{(n-1)\sigma^2}{n} * \frac{n}{n-1} = \sigma^2 $
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