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Geometric Sequences and Sums 기하수열과 합 (그리고 합의 증명)

Sequence

숫자가 (대개는 숫자를 칭한다) 규칙을 가지고 연속적으로 배치되어 있는 집합을 말한다.
3,5,7,9,... 는 2씩 증가하는 규칙을 가진 sequence이다. 이는

3 1st term
5 2nd term
7 3rd term
9 4th term
. . . . . . .

뒤의 ... 는 이런 배열이 무한히 계속됨을 말한다.

Geometric Sequence

Geometric Sequence란 숫자의 sequence에서 뒤의 숫자가 앞의 숫자에 특정한 상수를 곱하여 구해지는 sequence를 말한다.
예를 들면 1, 2, 4, 8, 16, . . . 에서 뒤의 숫자는 앞의 숫자에 2를 곱해서 구할 수 있는 숫자이다. 일반적으로 우리는 Geometric Sequence는 아래처럼 일반화시켜서 적는다.
{a,ar,ar2,ar3,ar4,...}

  • a 는 첫번째 숫자(term)을 말한다.
  • r 은 각 term의 (숫자) 요인이다 (공통요인, common ratio)

위에서

  • a = 1 (첫번째 숫자)
  • r = 2 (두 숫자 간의 common ratio)

{a,ar,ar2,ar3,...}={1,1x21,1x22,1x23,...}={1,2,4,8,...}where r should not be 0.

몇 번째 숫자는 어떤 가치를 가질까?는 아래와 같이 구한다.
Xn=ar(n1)

예를 들면 아래의 sequence가 있다고 할때,
5, 20, 80, 320, . . .

  • a = 5
  • r = 4
  • 4번째 숫자는 5441=320
  • 10번째 숫자는 549=5262144=1310720

r 이 -1 에서 1 사이의 값을 가질 때는 geometric sequence는 점점 작아진다. 예를 들면
{12,6,3,1.5,0.75,...} 에서의 계산 방법은
Xn=12(12)n1 이다.

위에서 n이 무한대로 간다고 가정하면 이 때의 Xn=0 이 될 것이다. 즉,
Xn=ar(n1)where 1<r<+1 and nr(n1)=0

Sums of Geometric Series

Sequence의 숫자를 모두 더한다는 것은 아래를 뜻한다.
\large a + ar + ar^2 + . . . + ar^{(n-1)}

이를 일반화하면 아래와 같다.
\sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) = a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right)

예를 들면

\{ 10, 20, 40, 80, 160, . . . \}
에서 처음 4개의 숫자를 더한 가치를 구해본다고 하면,

\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) & = & a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right) \\ & = & \sum_{k=0}^{4-1}(10 \cdot 2^{k}) \\ & = & 10 \left(\frac{1-2^4}{1-2}\right) \\ & = & 150 \end{eqnarray*}

Proof

\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}(ar^{k}) = S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} \\ \end{eqnarray*}

위의 식에 각 r을 곱한다면

\begin{eqnarray} S & = & a + ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} \\ S\cdot r & = & \qquad ar + ar^2 + ar^3 + . . . + ar^{(n-2)} + ar^{(n-1)} + ar^{(n)} \\ \end{eqnarray}

위에서 아래를 빼면
\begin{eqnarray*} S-S\cdot r & = & a - ar^{n} \\ (1-r) \cdot S & = & a - ar^{n} \\ S & = & \frac {a - ar^{n}}{1-r} \\ & = & \frac {a (1 - r^{n})}{1-r} \\ & = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\ \end{eqnarray*}

with Infinite Series (n이 무한대일 때)

n이 무한히 간다고 하고, r 이 -1 과 1 사이의 숫자라고 할 때 (여기서 -1, 0, 1은 포함하지 않는다. diminishing geometric series):
\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \frac {(1 - r^{n})}{1-r} \\ & & \text{when } \\ & & n -> \infty, |r| < 1, r \ne 0 \\ & & r^{n} = 0 \\ \therefore \; \; \sum_{n=0}^{\infty}(ar^n) & = & a \cdot \left(\frac{1}{1-r}\right) \end{eqnarray*}

geometric_sequences_and_sums.1728429018.txt.gz · Last modified: 2024/10/09 08:10 by hkimscil

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