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--- interpretation_of_multiple_regression [2023/05/17 07:45] – hkimscil
+++ interpretation_of_multiple_regression [2023/05/17 10:40] – [회귀분석의 조건] hkimscil
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 scholar <- data.frame(FGPA, HSGPA, SATV) # collect into a data frame
+# install.packages("psych")
+# library(psych)
 describe(scholar) # provides descrptive information about each variable
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 ====== 기울기 계수로 독립변인의 영향력 평가하기 ======
-SATV의 기울기 계수인 0.00381은 모델 직선의 (데이터를 관통하는) 위치를 알려주는 것이고 이 선을 중심으로 데이터들이 포진하게 된다. 그리고 선에서 데이터 까지의 거리가 에러 값이다. 또한 이 거리는 표준편차 값을 갖게 되고 이를 이용하여 표준오차 (standard error) 값을 구해볼 수 있다. 즉 이 표준오차 값은 에러값들이 선을 중심으로 얼마나 잘 포진되어 있는지를 보여주는 지표가 된다.
+SATV의 기울기 계수인 0.00381은 모델 직선의 (데이터를 관통하는) 위치를 알려주는 것이고 이 선을 중심으로 데이터들이 포진하게 된다. 그리고 선에서 데이터 까지의 거리가 에러 값이다. 또한 이 거리는 표준편차 값을 갖게 되고 이를 이용하여 표준오차 (standard error) 값을 구해볼 수 있다. 즉 이 표준오차 값은 에러값 들이 선을 중심으로 얼마나 잘 포진되어 있는 지를 보여주는 지표가 된다.
+이 논리도 연구자는 계수 값을 (b에 해당하는 계수) 표준오차 값으로 (standard error)값으로 나누고 이를 t 계산 값으로 (t-calculated value) 삼아서 significance 테스트를 할 수 있다. 표준오차가 작은 경우는 선을 중심으로 실제 데이터 값들이 좁게 모여 있음을 의미하므로 높은 t 값을 얻을 수 있겠다. 따라서 계수의 역할에 대한 통계학적인 의미가 있다고 판단한다.
-이 논리도 연구자는 계수 값을 표준오차 값으로 (standard error)값으로 나누고 이를 t 계산값으로 (t-calculated value) 삼아서 significance 테스트를 할 수 있다.
 <code>
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     * df 값은 n-2로 (변수의 갯수) 구한다.
   * 이 값은  0.002059 이고 이는 한 쪽 날개에 해당하는 probability이므로 2를 곱하여
-  * 0.004119 를 구한다. 이것이 Pr(>|t|) 값인 ''0.0041'' 이다.
+  * 0.004119 를 구한다. 이것이 Pr(>|t|) 값인 ''0.0041'' 혹은 ''0.00412'' 이다.
+====== Standard error of b1 ======
+b1은 기울기이다 (regression coefficient). xi 지점에서 y값을 살펴보면 실제 y값에서 (y value) 기울기 선에 위치한 y값을 (y fitted value 혹은 predicted value of y) 뺀 값은 우리가 이야기한 error에 혹은 residual에 해당하는 값이다. 이 에러들이 사선을 중심으로 어떻게 포진해 있는가를 보기 위해서 b1 기울기 주변에 모인 residual 값들의 standard error 값을 알아보려면: residual의 분산값을 x의 Sum of Square 값에 제곱근을 씌운 값으로 나누어 준다. 즉,
+\begin{eqnarray*}
+\displaystyle s_{b_{1}} & = & \sqrt {\frac {MSE}{SS_{X}}} \\
+ & = & \displaystyle \sqrt { \frac{1}{n-2} * \frac{SSE}{SS_{X}}} \\
+ & = & \displaystyle \sqrt { \frac{1}{n-2} * \frac{\Sigma{(Y-\hat{Y})^2}}{\Sigma{(X_{i} - \bar{X})^2}}} \\
+\end{eqnarray*}
+<code>
+> sum(resid(m1)^2)
+[1] 0.5822
+> sse <- sum(resid(m1)^2)
+> ssx <- sum((SATV - mean(SATV))^2)
+> sqrt((1/8)*(sse/ssx))
+[1] 0.0009598
+>
+</code>
+혼란스러운 것을 정리하기 위해서:
+  * summary(m1) 아웃풋에서의 standard error of residual 은 말 그대로
+    * SSE/df(=n-2) 값에 sqrt를 씌워준 값이다.
+    * 즉 sqrt(에러분산 혹은 레지듀얼분산) 값을 말한다.
+    * 즉 sqrt(MSE) 값이다.
+  * b1의 se 값은 b1에 (독립변인의 기울기) 대한 영향력을 테스트하는 b1의 se이다.
+    * 이 값은 sqrt(MSE/SSX1) 를 이용해서 구한다.
+    * 만약에 multiple regression이라서 X가 여러개라면 각 X에 해당하는 SSxi 가 분모로 쓰일 것이다.
 ====== 회귀분석의 조건 ======
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   - Homoscedasticity of the residuals. 에러의 분산 값은 x 값의 range에서 공히 일정해야 한다. [[:homoscedasticity]]
   - No outlier. 숫자로 측정된 데이터의 경우 아웃라이어는 전체 평균치에 (statistics) 큰 영향을 미친다. 따라서 아웃라이어를 확인하고 제외할 필요가 있는지 확인해야 한다.
+  - 독립변인들 간의 상관관계가 커서는 안된다. 어느정도까지 허용할지는 여러가지 방법이 있다. [[:multicollinearity]]
 ====== 플로팅 ======