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--- interpretation_of_multiple_regression [2023/05/17 04:32] – [플로팅] hkimscil
+++ interpretation_of_multiple_regression [2023/05/17 10:48] (current) – [회귀계수 분석 Regression coefficients] hkimscil
@@ Line 7: / Line 7: @@
 scholar <- data.frame(FGPA, HSGPA, SATV) # collect into a data frame
+# install.packages("psych")
+# library(psych)
 describe(scholar) # provides descrptive information about each variable
@@ Line 14: / Line 17: @@
 pairs(scholar)        # pairwise scatterplots
 attach(scholar)
-# freshman's gpa ~ hischool gpa + sat
-mod.all <- lm(FGPA ~ HSGPA + SATV, data = scholar)
-summary(mod.all)
 m1 <- lm(FGPA ~ SATV, data = scholar)
@@ Line 45: / Line 45: @@
     FGPA, HSGPA, SATV
-> # freshman's gpa ~ hischool gpa + sat
-> mod.all <- lm(FGPA ~ HSGPA + SATV, data = scholar)
-> summary(mod.all)
-Call:
-lm(formula = FGPA ~ HSGPA + SATV, data = scholar)
-Residuals:
-    Min      1Q  Median      3Q     Max
--0.2431 -0.1125 -0.0286  0.1269  0.2716
-Coefficients:
-            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
-(Intercept) 0.233102   0.456379    0.51    0.625
-HSGPA       0.845192   0.283816    2.98    0.021 *
-SATV        0.000151   0.001405    0.11    0.917
----
-Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
-Residual standard error: 0.192 on 7 degrees of freedom
-Multiple R-squared:  0.851,	Adjusted R-squared:  0.809
-F-statistic: 20.1 on 2 and 7 DF,  p-value: 0.00126
-</code>
-<code>
 > m1 <- lm(FGPA ~ SATV, data = scholar)
 > summary(m1)
@@ Line 91: / Line 66: @@
 F-statistic: 15.8 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.00412
 </code>
 위 linear modeling 에서 아래와 같은 선형모델을 얻는다.
 y hat (FGPA) = 0.95633 + 0.00381 * SATV
@@ Line 98: / Line 74: @@
   * SAT가 100점이 올라가면 GPA는 0.381이 올라간다.
   * 아래는 그것을 확인해보는 R 코드이다.
 <code>
 p <- data.frame(c(400,500,600,700,800))
@@ Line 105: / Line 82: @@
 pred[5]-pred[4]
 </code>
 <code>
 > p <- data.frame(c(400,500,600,700,800))
@@ Line 116: / Line 94: @@
 .381
 </code>
 아래는 원 데이터를 d 로 바꾼후 독립변인인 SATV를 평균점수를 0으로 하는 SATV_centered 로 바꾸어서 다시 regression을 한 것이다. m1_centered의 결과를 보면
   * SATV의 계수 값은 원래와 (m1) 같다.
   * 절편값은 3.09 인데, 이는 SATV 점수가 평균일 (mean(SATV) = 560) 때의 FGPA 값을 말한다.
 <code>
 d <- scholar
@@ Line 154: / Line 134: @@
 </code>
 ====== 기울기 계수로 독립변인의 영향력 평가하기 ======
-SATV의 기울기 계수인 0.00381은 모델 직선의 (데이터를 관통하는) 위치를 알려주는 것이고 이 선을 중심으로 데이터들이 포진하게 된다. 그리고 선에서 데이터 까지의 거리가 에러 값이다. 또한 이 거리는 표준편차 값을 갖게 되고 이를 이용하여 표준오차 (standard error) 값을 구해볼 수 있다. 즉 이 표준오차 값은 에러값들이 선을 중심으로 얼마나 잘 포진되어 있는지를 보여주는 지표가 된다.
+SATV의 기울기 계수인 0.00381은 모델 직선의 (데이터를 관통하는) 위치를 알려주는 것이고 이 선을 중심으로 데이터들이 포진하게 된다. 그리고 선에서 데이터 까지의 거리가 에러 값이다. 또한 이 거리는 표준편차 값을 갖게 되고 이를 이용하여 표준오차 (standard error) 값을 구해볼 수 있다. 즉 이 표준오차 값은 에러값 들이 선을 중심으로 얼마나 잘 포진되어 있는 지를 보여주는 지표가 된다.
+이 논리도 연구자는 계수 값을 (b에 해당하는 계수) 표준오차 값으로 (standard error)값으로 나누고 이를 t 계산 값으로 (t-calculated value) 삼아서 significance 테스트를 할 수 있다. 표준오차가 작은 경우는 선을 중심으로 실제 데이터 값들이 좁게 모여 있음을 의미하므로 높은 t 값을 얻을 수 있겠다. 따라서 계수의 역할에 대한 통계학적인 의미가 있다고 판단한다.
-이 논리도 연구자는 계수 값을 표준오차 값으로 (standard error)값으로 나누고 이를 t 계산값으로 (t-calculated value) 삼아서 significance 테스트를 할 수 있다.
 <code>
@@ Line 181: / Line 163: @@
 F-statistic: 15.8 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.00412
 </code>
 위에서 SATV의
   * 계수값은 (Estimate) 0.00381 이고 (a라고 하자) 이에 대한
@@ Line 190: / Line 173: @@
     * df 값은 n-2로 (변수의 갯수) 구한다.
   * 이 값은  0.002059 이고 이는 한 쪽 날개에 해당하는 probability이므로 2를 곱하여
-  * 0.004119 를 구한다. 이것이 Pr(>|t|) 값인 ''0.0041 **'' 이다.
+  * 0.004119 를 구한다. 이것이 Pr(>|t|) 값인 ''0.0041'' 혹은 ''0.00412'' 이다.
+====== Standard error of b1 ======
+b1은 기울기이다 (regression coefficient). xi 지점에서 y값을 살펴보면 실제 y값에서 (y value) 기울기 선에 위치한 y값을 (y fitted value 혹은 predicted value of y) 뺀 값은 우리가 이야기한 error에 혹은 residual에 해당하는 값이다. 이 에러들이 사선을 중심으로 어떻게 포진해 있는가를 보기 위해서 b1 기울기 주변에 모인 residual 값들의 standard error 값을 알아보려면: residual의 분산값을 x의 Sum of Square 값에 제곱근을 씌운 값으로 나누어 준다. 즉,
+\begin{eqnarray*}
+\displaystyle s_{b_{1}} & = & \sqrt {\frac {MSE}{SS_{X}}} \\
+ & = & \displaystyle \sqrt { \frac{1}{n-2} * \frac{SSE}{SS_{X}}} \\
+ & = & \displaystyle \sqrt { \frac{1}{n-2} * \frac{\Sigma{(Y-\hat{Y})^2}}{\Sigma{(X_{i} - \bar{X})^2}}} \\
+\end{eqnarray*}
+<code>
+> sum(resid(m1)^2)
+[1] 0.5822
+> sse <- sum(resid(m1)^2)
+> ssx <- sum((SATV - mean(SATV))^2)
+> sqrt((1/8)*(sse/ssx))
+[1] 0.0009598
+>
+</code>
+혼란스러운 것을 정리하기 위해서:
+  * summary(m1) 아웃풋에서의 standard error of residual 은 말 그대로
+    * SSE/df(=n-2) 값에 sqrt를 씌워준 값이다.
+    * 즉 sqrt(에러분산 혹은 레지듀얼분산) 값을 말한다.
+    * 즉 sqrt(MSE) 값이다.
+  * b1의 se 값은 b1에 (독립변인의 기울기) 대한 영향력을 테스트하는 b1의 se이다.
+    * 이 값은 sqrt(MSE/SSX1) 를 이용해서 구한다.
+    * 만약에 multiple regression이라서 X가 여러개라면 각 X에 해당하는 SSxi 가 분모로 쓰일 것이다.
 ====== 회귀분석의 조건 ======
   - Linearity. 선형관계를 전제로 한다. 즉 이차방정식, 삼차방정식, 로그방정식 등의 관계가 아닌 직선에 기초한 관계이다.
   - Normality of residuals. 회귀식을 중심으로 한 에러값 혹은 잔차값의 분포는 정상적이어야 한다.
   - Homoscedasticity of the residuals. 에러의 분산 값은 x 값의 range에서 공히 일정해야 한다. [[:homoscedasticity]]
   - No outlier. 숫자로 측정된 데이터의 경우 아웃라이어는 전체 평균치에 (statistics) 큰 영향을 미친다. 따라서 아웃라이어를 확인하고 제외할 필요가 있는지 확인해야 한다.
+  - 독립변인들 간의 상관관계가 커서는 안된다. 어느정도까지 허용할지는 여러가지 방법이 있다. [[:multicollinearity]]
 ====== 플로팅 ======
@@ Line 204: / Line 219: @@
 </code>
 {{:pasted:20230517-041819.png}}
 <code>
 # load necessary libraries
@@ Line 217: / Line 233: @@
 {{:pasted:20230517-043220.png}}
+====== Multiple regression 다중회귀분석 ======
+<code>
+ggplot(scholar) +
+  aes(x = SATV, y = FGPA, size = HSGPA) +
+  geom_point() +
+  scale_color_gradient() +
+  labs(
+    y = "First Year GPA",
+    x = "SAT score",
+    size = "Hi School GPA"
+  ) +
+  theme_minimal()
+</code>
+{{:pasted:20230517-043911.png}}
+<code>
+m2 <- lm(FGPA~SATV+HSGPA, data=scholar)
+summary(m2)
+</code>
+<code>
+> m2 <- lm(FGPA~SATV+HSGPA, data=scholar)
+> summary(m2)
+Call:
+lm(formula = FGPA ~ SATV + HSGPA, data = scholar)
+Residuals:
+    Min      1Q  Median      3Q     Max
+-0.2431 -0.1125 -0.0286  0.1269  0.2716
+Coefficients:
+            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
+(Intercept) 0.233102   0.456379    0.51    0.625
+SATV        0.000151   0.001405    0.11    0.917
+HSGPA       0.845192   0.283816    2.98    0.021 *
+---
+Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
+Residual standard error: 0.192 on 7 degrees of freedom
+Multiple R-squared:  0.851,	Adjusted R-squared:  0.809
+F-statistic: 20.1 on 2 and 7 DF,  p-value: 0.00126
+>
+>
+</code>
+====== 회귀계수 분석  Regression coefficients  ======
+아래 회귀식에서 (regression equation) b 값들이 통계학적으로 유의미한지 살펴보는 방법
+Y hat (FGPA) = 0.233102 + 0.000151 SATV + 0.845192 HSGPA
+<code>
+Coefficients:
+            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
+(Intercept) 0.233102   0.456379    0.51    0.625
+SATV        0.000151   0.001405    0.11    0.917
+HSGPA       0.845192   0.283816    2.98    0.021 *
+---
+Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
+</code>
+  * 둘 다 양의 상관관계
+  * 계수값의 단위가 HSGPA가 더 크지만 그 이유는 측정단위 때문에 (FGPA와 HSGPA의 단위가 거의 비슷함 (0 - 4.0)
+  * 각 변인의 t값을 구하여 significant test를 하여 각각
+  * t_SATV = 0.11, t_HSGPA = 2.98 을 얻음
+  * 전자는 Pr(>|t|) 값이 0.917, 후자는 0.021로 HSGPA가 significant하다.
+  * 각각의 계수를 해석하는 방법은
+  * SATV를 제외한 독립변인들의 (여기서는 HSGPA 하나) 영향력을 상수화하여 제어했을 때, SATV의 영향력은 SATV의 단위가 하나 증가할 때, 학점은 0.000151 증가하는 것으로 파악된다.
+  * 마찬가지로 SATV의 영향력을 상수화하여 제어했을 때, FGPA의 단위가 하나 증가하면, 학점은 0.845192 증가한다.
+위 분석을 받아들이기 망서리게 되는 이유는 simple regression에서 SATV의 FGPA에 대한 설명력이 유의미하다는 것을 밝혔음에도 불구하고 두개의 독립변인을 동시에 고려할 때에는 중요하지 않은 변인이 되기 때문이다. 이에 대한 설명을 하기 위해서 [[:partial and semipartial correlation]] 문서를 살펴본다.