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====== Taylor series 테일러 급수 ======
Taylor's series of $e^x$
일반화된 설명은 너무 복잡하고 아래와 같이 생각해보자


$e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}}$ 이라고 하면

\begin{align*}
e^x & = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\
& = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
\end{align*}

$x=2$ 일 때
\begin{align}
e^2 & = & 1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} +  . . .  \\
\end{align}
R에서 
<code>
> e <- exp(1)
> e
[1] 2.718282
> e^2
[1] 7.389056
> 
</code>
즉, $e^2 = 7.389056$ 임을 알고 있다. 이제 $(1)$을 이용해서 계산을 해보고 이것이 R에서의 계산과 같음을 확인해 본다. 


실제 계산을 해보면
^ Terms  ^    ^
| $1 + 2$  | $3$   | 
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!}$  | $5$   | 
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!}  $  | $6.333333$    | 
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} $  | $7$  | 
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} $  | $7.266667$   | 
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} $  | $7.355556$   | 
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} $  | $7.380952 $   | 
| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} + \displaystyle \frac{2^8}{8!} $  | $7.387302 $   | 
| $. . . $  | $. . . $  |

이를 R에서 function으로 만들어 구현해보면
<code>
mytaylor <- function(x, n) {
    mysum <- 0
    for (k in c(0:n)) {
        current <- (x^k/fact(k))
        mysum <- mysum + current
        cat(k, mysum, "\n")
    }
}
</code>
위의 펑션을 사용하여
<code>
mytaylor(2, 8)
</code>

<code>
> mytaylor(2, 8)
0 1 
1 3 
2 5 
3 6.333333 
4 7 
5 7.266667 
6 7.355556 
7 7.380952 
8 7.387302 
</code>

15 이상 계산하면 원계산의 7.389056 값을 보여준다.
<code>
> mytaylor(2, 15)
0 1 
1 3 
2 5 
3 6.333333 
4 7 
5 7.266667 
6 7.355556 
7 7.380952 
8 7.387302 
9 7.388713 
10 7.388995 
11 7.389046 
12 7.389055 
13 7.389056 
14 7.389056 
15 7.389056 
</code>

정리. 아래의 (2)가 $e^x$ 이 되는 형태가 많이 쓰이니 기억해 두는 것이 좋다.
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
& = e^x \nonumber \\
\end{align}