Taylor series 테일러 급수

Taylor's series of $e^x$
일반화된 설명은 너무 복잡하고 아래와 같이 생각해보자

$e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}}$ 이라고 하면

\begin{align*} e^x & = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\ & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . . \\ \end{align*}

$x=2$ 일 때
\begin{align} e^x & = & 1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} + . . . \\ \end{align}
R에서

> e <- exp(1)
> e
[1] 2.718282
> e^2
[1] 7.389056
>

즉, $e^x = 7.389056$ 임을 알고 있다. 이제 $(1)$을 이용해서 계산을 해보고 이것이 R에서의 계산과 같음을 확인해 본다.

실제 계산을 해보면

Terms
$1 + 2$	$3$
$1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!}$	$5$
$1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} $	$6.333333$
$1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} $	$7$
$1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} $	$7.266667$
$1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} + \displaystyle \frac{2^6}{6!} $	$7.355556$
$1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} + \displaystyle \frac{2^6}{6!} + \displaystyle \frac{2^7}{7!} $	$7.380952 $
$1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + \displaystyle \frac{2^5}{5!} + \displaystyle \frac{2^6}{6!} + \displaystyle \frac{2^7}{7!} + \displaystyle \frac{2^8}{8!} $	$7.387302 $
$. . . $	$. . . $

이를 R에서 function으로 만들어 구현해보면

mytaylor <- function(x, n) {
    mysum <- 0
    for (k in c(0:n)) {
        current <- (x^k/fact(k))
        mysum <- mysum + current
        cat(k, mysum, "\n")
    }
}

위의 펑션을 사용하여

mytaylor(2, 8)

> mytaylor(2, 8)
0 1 
1 3 
2 5 
3 6.333333 
4 7 
5 7.266667 
6 7.355556 
7 7.380952 
8 7.387302

15 이상 계산하면 원계산의 7.389056 값을 보여준다.

> mytaylor(2, 15)
0 1 
1 3 
2 5 
3 6.333333 
4 7 
5 7.266667 
6 7.355556 
7 7.380952 
8 7.387302 
9 7.388713 
10 7.388995 
11 7.389046 
12 7.389055 
13 7.389056 
14 7.389056 
15 7.389056

정리. 아래의 (2)가 $e^x$ 이 되는 형태가 많이 쓰이니 기억해 두는 것이 좋다.
\begin{align} \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . . \\ & = e^x \nonumber \\ \end{align}