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-====== Taylor series ======
+====== Taylor series 테일러 급수 ======
 Taylor's series of $e^x$
 일반화된 설명은 너무 복잡하고 아래와 같이 생각해보자
@@ Line 6: / Line 6: @@
 $e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}}$ 이라고 하면
-\begin{eqnarray*}
+\begin{align*}
-e^x & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\
+e^x & = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\
-& = & 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
+& = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
-\end{eqnarray*}
+\end{align*}
 $x=2$ 일 때
-\begin{eqnarray*}
+\begin{align}
-e^x & = & 1 + x + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} +  . . .  \\
+e^x & = & 1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} +  . . .  \\
-\end{eqnarray*}
+\end{align}
 R에서
 <code>
@@ Line 23: / Line 24: @@
 >
 </code>
+즉, $e^x = 7.389056$ 임을 알고 있다. 이제 $(1)$을 이용해서 계산을 해보고 이것이 R에서의 계산과 같음을 확인해 본다.
 실제 계산을 해보면
@@ Line 28: / Line 31: @@
 | $1 + 2$  | $3$   |
 | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!}$  | $5$   |
-| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!}  $  | $6.333...$    |
+| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!}  $  | $6.333333$    |
 | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} $  | $7$  |
-| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} $  | $7.2666...$   |
+| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} $  | $7.266667$   |
-| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} $  | $7.3555...$   |
+| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} $  | $7.355556$   |
-| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} $  | $7.3809...$   |
+| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} $  | $7.380952 $   |
-| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} + \displaystyle \frac{2^8}{8!} $  | $7.3873...$   |
+| $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} + \displaystyle \frac{2^8}{8!} $  | $7.387302 $   |
+| $. . . $  | $. . . $  |
+이를 R에서 function으로 만들어 구현해보면
+<code>
+mytaylor <- function(x, n) {
+    mysum <- 0
+    for (k in c(0:n)) {
+        current <- (x^k/fact(k))
+        mysum <- mysum + current
+        cat(k, mysum, "\n")
+    }
+}
+</code>
+위의 펑션을 사용하여
+<code>
+mytaylor(2, 8)
+</code>
+<code>
+> mytaylor(2, 8)
+1
+3
+5
+6.333333
+7
+7.266667
+7.355556
+7.380952
+7.387302
+</code>
+이상 계산하면 원계산의 7.389056 값을 보여준다.
+<code>
+> mytaylor(2, 15)
+1
+3
+5
+6.333333
+7
+7.266667
+7.355556
+7.380952
+7.387302
+7.388713
+7.388995
+7.389046
+7.389055
+7.389056
+7.389056
+7.389056
+</code>
+정리. 아래의 (2)가 $e^x$ 이 되는 형태가 많이 쓰이니 기억해 두는 것이 좋다.
+\begin{align}
+\displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
+& = e^x \nonumber \\
+\end{align}