taylor_series
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|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | ====== Taylor series ====== | + | ====== Taylor series |
| Taylor' | Taylor' | ||
| 일반화된 설명은 너무 복잡하고 아래와 같이 생각해보자 | 일반화된 설명은 너무 복잡하고 아래와 같이 생각해보자 | ||
| Line 6: | Line 6: | ||
| $e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}}$ 이라고 하면 | $e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}}$ 이라고 하면 | ||
| - | \begin{eqnarray*} | + | \begin{align*} |
| - | e^x & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\ | + | e^x & = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\ |
| - | & = & 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . . \\ | + | & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . . \\ |
| - | \end{eqnarray*} | + | \end{align*} |
| $x=2$ 일 때 | $x=2$ 일 때 | ||
| - | \begin{eqnarray*} | + | \begin{align} |
| - | e^x & = & 1 + x + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} + . . . \\ | + | e^x & = & 1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} + . . . \\ |
| - | \end{eqnarray*} | + | \end{align} |
| R에서 | R에서 | ||
| < | < | ||
| Line 23: | Line 24: | ||
| > | > | ||
| </ | </ | ||
| + | 즉, $e^x = 7.389056$ 임을 알고 있다. 이제 $(1)$을 이용해서 계산을 해보고 이것이 R에서의 계산과 같음을 확인해 본다. | ||
| + | |||
| 실제 계산을 해보면 | 실제 계산을 해보면 | ||
| Line 34: | Line 37: | ||
| | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + | | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + | ||
| | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + | | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} + \displaystyle \frac{2^4}{4!} + | ||
| + | | $. . . $ | $. . . $ | | ||
| 이를 R에서 function으로 만들어 구현해보면 | 이를 R에서 function으로 만들어 구현해보면 | ||
| Line 63: | Line 67: | ||
| 8 7.387302 | 8 7.387302 | ||
| </ | </ | ||
| + | |||
| + | 15 이상 계산하면 원계산의 7.389056 값을 보여준다. | ||
| + | < | ||
| + | > mytaylor(2, 15) | ||
| + | 0 1 | ||
| + | 1 3 | ||
| + | 2 5 | ||
| + | 3 6.333333 | ||
| + | 4 7 | ||
| + | 5 7.266667 | ||
| + | 6 7.355556 | ||
| + | 7 7.380952 | ||
| + | 8 7.387302 | ||
| + | 9 7.388713 | ||
| + | 10 7.388995 | ||
| + | 11 7.389046 | ||
| + | 12 7.389055 | ||
| + | 13 7.389056 | ||
| + | 14 7.389056 | ||
| + | 15 7.389056 | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | 정리. 아래의 (2)가 $e^x$ 이 되는 형태가 많이 쓰이니 기억해 두는 것이 좋다. | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . . \\ | ||
| + | & = e^x \nonumber \\ | ||
| + | \end{align} | ||
| + | |||
| + | |||
taylor_series.1605887800.txt.gz · Last modified: 2020/11/21 00:56 by hkimscil