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-====== Taylor series ======
+====== Taylor series 테일러 급수 ======
 Taylor's series of $e^x$
 일반화된 설명은 너무 복잡하고 아래와 같이 생각해보자
@@ Line 6: / Line 6: @@
 $e^x = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}}$ 이라고 하면
-\begin{eqnarray*}
+\begin{align*}
-e^x & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\
+e^x & = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} \\
-& = & 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
+& = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
-\end{eqnarray*}
+\end{align*}
 $x=2$ 일 때
-\begin{eqnarray*}
+\begin{align}
-e^x & = & 1 + x + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} +  . . .  \\
+e^x & = & 1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \frac{2^5}{5!} +  . . .  \\
-\end{eqnarray*}
+\end{align}
 R에서
 <code>
@@ Line 23: / Line 24: @@
 >
 </code>
+즉, $e^x = 7.389056$ 임을 알고 있다. 이제 $(1)$을 이용해서 계산을 해보고 이것이 R에서의 계산과 같음을 확인해 본다.
 실제 계산을 해보면
@@ Line 34: / Line 37: @@
 | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} $  | $7.380952 $   |
 | $1 + 2 + \displaystyle \frac{2^2}{2!} + \displaystyle \frac{2^3}{3!} +  \displaystyle \frac{2^4}{4!} +   \displaystyle \frac{2^5}{5!} +   \displaystyle \frac{2^6}{6!} +   \displaystyle \frac{2^7}{7!} + \displaystyle \frac{2^8}{8!} $  | $7.387302 $   |
+| $. . . $  | $. . . $  |
 이를 R에서 function으로 만들어 구현해보면
@@ Line 84: / Line 88: @@
 7.389056
 </code>
+정리. 아래의 (2)가 $e^x$ 이 되는 형태가 많이 쓰이니 기억해 두는 것이 좋다.
+\begin{align}
+\displaystyle \sum_{k=0}^\infty {\frac{x^k}{k!}} & = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + . . .  \\
+& = e^x \nonumber \\
+\end{align}