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====== The Binomial Theorem ======

see [[https://www.mathsisfun.com/algebra/binomial-theorem.html|this web page]]

\begin{eqnarray*}
(a + b)^{1} & = & (a + b) \\
(a + b)^{2} & = & (a + b)(a + b) \\
(a + b)^{3} & = & (a + b)^{2} (a + b) \\
(a + b)^{4} & = & (a + b)^{3} (a + b) \\
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
(a + b)^{1} & = & (a + b) \\
(a + b)^{2} & = & (a + b)(a + b) \\
            & = & a^2 + 2ab + b^2 \\
(a + b)^{3} & = & (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) \\
            & = & a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\
(a + b)^{4} & = & (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)(a + b) \\
            & = & a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \\
\end{eqnarray*}

어떤 패턴이 보인다. 이 패턴을  The Binominal Theorem이라고 하고 아래처럼 표현된다.
\begin{eqnarray*}
(a + b)^{m} & = & \sum^{m}_{y=0}{{m}\choose{y}} a^{y} b^{m-y} \\
\end{eqnarray*}

====== Pattern ======
\begin{eqnarray*}
(a + b)^{3} & = & (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) & = & a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\
\end{eqnarray*}

====== 지수의 경우 ======
a의 지수는 3, 2, 1, 0 순으로 내려가고
$$ a^{\huge 3} + 3a^{\huge 2}b + 3a^{\huge 1}b^2 + a^{\huge 0}b^3 $$
b의 지수는 0, 1, 2, 3 순으로 올라간다.
$$ a^3b^{\huge 0} + 3a^2b^{\huge 1} + 3a^1b^{\huge 2} + a^0 b^{\huge 3} $$

이는 아래와 같이 정리할 수 있다.
\begin{align*}
n&=3 \\
k&=0           &  k&=1               &  k&=2       &  k&=3  \\
&a^3           &  &a^2               &  &a^1       &  &1     \\
&1             &  &b^1               &  &b^2       &  &b^3 
\end{align*}

\begin{eqnarray*}
{\huge a^{n-k}b^{k}}
\end{eqnarray*}

====== 계수 ======
\begin{eqnarray*}
   &1&   \\
 a &+& b \\
a^2 + 2a&b& + b^2 \\
a^3 + 3a^2b &+& 3ab^2 + b^3
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
   &{\huge 1}&   \\
 {\huge 1}a &+& {\huge 1}b \\
{\huge 1}a^2 + {\huge 2}&ab& + {\huge 1}b^2 \\
{\huge 1}a^3 + {\huge 3}a^2b &+& {\huge 3}ab^2 + {\huge 1}b^3
\end{eqnarray*}

{{  :pasted:20201103-202420.png  }}

따라서 $ (a+b)^4 $는
| a 지수는 4, 3, 2, 1, 0 순  |  $a^4$  |  $a^3$  |  $a^2$  |  $a^1$  |  1  |
| b 지수는 0, 1, 2, 3, 4 순  |  $a^4$  |  $a^3b$  |  $a^2b^2$  |  $a^1b^3$  |  $b^4$  |
| coefficient 는 1, 4, 6, 4, 1 순  |   $a^4$  |  $4a^3b$  |  $6a^2b^2$  |  $4a^1b^3$  |  $b^4$  |

<WRAP info>
그렇다면, 
$(a + b)^5 = {\text ?} $ 
</WRAP>

\begin{eqnarray*}
&{0 \choose 0}&   \\
&{1 \choose 0} \; {1 \choose 1}& \\
&{2 \choose 0}\; {2 \choose 1}\; {2 \choose 2}& \\
&{3 \choose 0}\; {3 \choose 1}\; {3 \choose 2}\; {3 \choose 3}& \\
&{4 \choose 0}\; {4 \choose 1}\; {4 \choose 2}\; {4 \choose 3}\; {4 \choose 4}& \\
&{5 \choose 0}\; {5 \choose 1}\; {5 \choose 2}\; {5 \choose 3}\; {5 \choose 4}\; {5 \choose 5} & \\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
& {\large 1} &  \\
& {\large 1\quad 1} & \\
& {\large 1\quad 2\quad 1} & \\
& {\large 1\quad 3\quad 3\quad 1} & \\
& {\large 1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1} & \\
& {\large 1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1} & \\
\end{eqnarray*}

따라서 
\begin{eqnarray*}
& a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a^1 + a^0 & \\
& b^0 + b^1 + b^2 + b^3 + b^4 + b^5 & \\
& 1   + 5   + 10  + 10  + 5   + 1 & \\
& a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 & \\
\end{eqnarray*}



위를 종합해서 정리하면
\begin{eqnarray*}
\text{The binomial theorem} &  & \\
(a + b)^{n} & = & \sum^{n}_{k=0}{{n}\choose{k}} a^{n-k} b^{k} \\
\end{eqnarray*}

예를 들면, 아래와 같다. ($n = 3$ 인경우)
\begin{eqnarray*}
(a + b)^{3} & = & \sum^{3}_{k=0}{{3}\choose{k}} a^{3-k} b^{k} \\
& = & {{3}\choose{0}} a^{3-0} b^{0} + {{3}\choose{1}} a^{3-1} b^{1} + {{3}\choose{2}} a^{3-2} b^{2} + {{3}\choose{3}} a^{3-3} b^{3}  \\
& = & 1 \cdot a^{3} b^{0} + 3 \cdot a^{2} b^{1} + 3 \cdot  a^{1} b^{2} + 1 \cdot  a^{0} b^{3}  \\ 
& = & a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3}  
\end{eqnarray*}